Вокруг равнобедренного остроугольного треугольника $NPQ$ с основанием $NQ$ описана окружность $\Omega$. Точка $F$ — середина дуги $PN$, не содержащей точки $Q$. Известно, что расстояния от точки $F$ до прямых $PN$ и $QN$ равны соответственно $5$ и $\dfrac{20}{3}$. Найдите радиус окружности $\Omega$ и площадь треугольника $NPQ$.
Ответ:
Решение:
Вокруг равнобедренного остроугольного треугольника $NPQ$ с основанием $NQ$ описана окружность $\Omega$. Расстояние от середины дуги $PN$, не содержащей точки $Q$, до стороны $PN$ равно $4$, а расстояние от середины дуги $QN$, не содержащей точки $P$, до стороны $QN$ равно $0{,}4$. Найдите радиус окружности $\Omega$ и площадь треугольника $NPQ$.
Ответ:
Решение:
Равнобедренный треугольник $PQT$ с основанием $PQ$ вписан в окружность $\Omega$. Хорды $AB$ и $CD$, параллельные прямой $PQ$, пересекают сторону $QT$ в точках $L$ и $M$ соответственно, и при этом $QL=LM=MT$. Найдите радиус окружности $\Omega$ и площадь треугольника $PQT$, если $AB=2\sqrt{14}$, $CD=2\sqrt{11}$, а центр $O$ окружности $\Omega$ расположен между прямыми $AB$ и $CD$.
Ответ:
Решение:
Окружность проходит через вершины $Q$ и $E$ треугольника $MQE$ и пересекает его стороны $MQ$ и $ME$ соответственно в точках $B$ и $D$, отличных от вершин треугольника. Отношение площади треугольника $BDM$ к площади треугольника $MQE$ равно $9/121$.
а) Найдите отношение $QE:BD$.
б) Пусть дополнительно известно, что отношение площадей треугольников $BME$ и $DQM$ равно $4$. Найдите отношение $BQ:DE$.
а) Найдите отношение $QE:BD$.
б) Пусть дополнительно известно, что отношение площадей треугольников $BME$ и $DQM$ равно $4$. Найдите отношение $BQ:DE$.
Ответ:
Решение:
Дан параллелограмм $ABCD$. Окружность $\Omega$ с диаметром 13 описана вокруг треугольника $ABM$, где $M$ — точка пересечения диагоналей данного параллелограмма. $\Omega$ вторично пересекает луч $CB$ и отрезок $AD$ в точках $E$ и $K$ соответственно. Длина дуги $AE$ в два раза больше длины дуги $BM$ (дуги $AE$ и $BM$ не имеют общих точек). Длина отрезка $EM$ равна 12. Найдите длины отрезков $BC$, $BK$ и периметр треугольника $AKM$.
Ответ:
Решение:
Хорды $AB$ и $CD$ окружности $\Gamma$ с центром $O$ имеют длину 4. Продолжения отрезков $BA$ и $CD$ соответственно за точки $A$ и $D$ пересекаются в точке $P$. Прямая $PO$ пересекает отрезок $AC$ в точке $L$, причём $AL:LC=1:4$.
а) Найдите $AP$.
б) Пусть дополнительно известно, что радиус окружности $\Gamma$ равен 3, а точка $T$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ACP$. Найдите длину отрезка $PT$ и площадь треугольника $ACP$.
а) Найдите $AP$.
б) Пусть дополнительно известно, что радиус окружности $\Gamma$ равен 3, а точка $T$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ACP$. Найдите длину отрезка $PT$ и площадь треугольника $ACP$.
Ответ:
Решение:
Хорды $AB$ и $CD$ окружности $\Gamma$ с центром $O$ имеют длину 4. Продолжения отрезков $BA$ и $CD$ соответственно за точки $A$ и $D$ пересекаются в точке $P$. Прямая $PO$ пересекает отрезок $AC$ в точке $L$, причём $AL:LC=2:3$.
а) Найдите $AP$.
б) Пусть дополнительно известно, что радиус окружности $\Gamma$ равен 2,5, а точка $T$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ACP$. Найдите длину отрезка $PT$ и площадь треугольника $ACP$.
а) Найдите $AP$.
б) Пусть дополнительно известно, что радиус окружности $\Gamma$ равен 2,5, а точка $T$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ACP$. Найдите длину отрезка $PT$ и площадь треугольника $ACP$.
Ответ:
Решение:
а) Две окружности одинакового радиуса 5 пересекаются в точках $A$ и $B$. На первой окружности выбрана точка $C$, а на второй — точка $D$. Оказалось, что точка $B$ лежит на отрезке $CD$, а $\angle CAD=90^\circ$. На перпендикуляре к $CD$, проходящем через точку $B$, выбрана точка $F$ так, что $BF=BD$ (точки $A$ и $F$ расположены по одну сторону от прямой $CD$). Найдите длину отрезка $CF$.
б) Пусть дополнительно известно, что $BC=6$. Найдите площадь треугольника $ACF$.
б) Пусть дополнительно известно, что $BC=6$. Найдите площадь треугольника $ACF$.
Ответ:
Решение:
а) Две окружности одинакового радиуса 5 пересекаются в точках $A$ и $B$. На первой окружности выбрана точка $C$, а на второй — точка $D$. Оказалось, что точка $B$ лежит на отрезке $CD$, а $\angle CAD=90^\circ$. На перпендикуляре к $CD$, проходящем через точку $B$, выбрана точка $F$ так, что $BF=BD$ (точки $A$ и $F$ расположены по разные стороны от прямой $CD$). Найдите длину отрезка $CF$.
б) Пусть дополнительно известно, что $BC=6$. Найдите площадь треугольника $ACF$.
б) Пусть дополнительно известно, что $BC=6$. Найдите площадь треугольника $ACF$.
Ответ:
Решение:
Две окружности одинакового радиуса 9 пересекаются в точках $A$ и $B$. На первой окружности выбрана точка $C$, а на второй — точка $D$. Оказалось, что точка $B$ лежит на отрезке $CD$, а $\angle CAD=90^\circ$. На перпендикуляре к $CD$, проходящем через точку $B$, выбрана точка $F$ так, что $BF=BD$ (точки $A$ и $F$ расположены по разные стороны от прямой $CD$). Найдите длину отрезка $CF$.
Ответ:
Решение:
Равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB=BC$) вписан в окружность $\omega$, а на дуге $AC$, не содержащей точку $B$, взяты точки $E$ и $D$ так, что отрезки $AD$ и $CE$ пересекаются в точке $F$. На лучах $EA$ и $DC$ отметили точки $X$ и $Y$ соответственно таким образом, что $AX=CF$ и $CY=AF$. Найдите площадь четырёхугольника $BXFY$, если $BF=17$, $XY=31$.
Ответ:
Решение:
Равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB=BC$) вписан в окружность $\omega$, а на дуге $AC$, не содержащей точку $B$, взяты точки $E$ и $D$ так, что отрезки $AD$ и $CE$ пересекаются в точке $F$. На лучах $EA$ и $DC$ отметили точки $X$ и $Y$ соответственно таким образом, что $AX=CF$ и $CY=AF$. Найдите площадь четырёхугольника $BXFY$, если $BF=7{,}5$, $XY=15$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ на медиане $AM$ и биссектрисе $CL$ как на диаметрах построены окружности $\Omega$ и $\omega$ соответственно, пересекающиеся в точках $P$ и $Q$. Отрезок $PQ$ параллелен высоте треугольника $ABC$, проведённой из вершины $B$. Окружность $\Omega$ пересекает сторону $AC$ повторно в точке $N$. Найдите длины сторон $AC$ и $BC$, если $AB=10$, $AN=8$.
Ответ:
Решение:
Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$ ($AB\lt CD$). Окружность $\omega_1$, описанная около треугольника $ABC$, повторно пересекает сторону $AD$ в точке $F$, а окружность $\omega_2$, описанная около треугольника $ACD$, повторно пересекает сторону $BC$ в точке $E$ (точки $E$ и $F$ расположены так, как показано на рисунке). Найдите отношение длин отрезков $AF$ и $CE$, если отношение радиуса окружности $\omega_1$ к радиусу окружности $\omega_2$ равно $1:2$.
Ответ:
Решение:
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $X$ и $Y$, а на меньшей дуге $BC$ его описанной окружности отмечены точки $P$ и $Q$ так, что указанные на чертеже штрихами дуги и отрезки равны. Лучи $PX$ и $QY$ пересекаются в точке $R$. Найдите угол $BAC$, если угол $BRC$ равен $\alpha$.
Ответ:
Решение:
Угол при вершине $A$ остроугольного треугольника $ABC$ равен $60^\circ$. Через вершины $B$ и $C$ проведены прямые, перпендикулярные сторонам $AB$ и $AC$ соответственно, пересекающиеся в точке $D$. Через вершину $B$ проведена прямая, перпендикулярная прямой $AD$ и пересекающая сторону $AC$ в точке $M$. Длины отрезков $MA$ и $MC$ равны $3$ и $1$ соответственно. Найти длину стороны $BC$.
Ответ:
Решение:
На биссектрисе угла $BAC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $M$, а на продолжении стороны $AB$ за точку $A$ — точка $N$ так, что $AC=AM=1$ и $\angle ANM=\angle CNM$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $CNM$.
Ответ:
Решение:
Продолжение биссектрисы $CD$ треугольника $ABC$ пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке $E$. Окружность, описанная около треугольника $ADE$, пересекает прямую $AC$ в точке $F$, отличной от $A$. Найдите $BC$, если $AC=b$, $AF=a$.
Ответ:
Решение:
В окружность радиуса 3 вписаны треугольники $ABC$ и $AMN$. При этом прямая $AM$ проходит через середину $E$ отрезка $BC$, а прямая $BN$ — через середину $F$ отрезка $AC$. Найдите периметр треугольника $ABC$, если $AM:AE=2:1$ и $BN:BF=17:13$.
Ответ:
Решение:
Города $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ лежат на одной окружности и попарно соединены прямолинейными дорогами. Два велосипедиста выехали одновременно из $A$ в $D$ и из $C$ в $E$, повстречавшись в пути. Затем они выехали одновременно из $D$ в $B$ и из $E$ в $C$, опять повстречавшись в пути. Наконец, они выехали одновременно из $B$ в $E$ и из $C$ в $B$, прибыв в пункты назначения одновременно. Найдите $BC$, если $AE=2$ км и $CD=4$ км, а скорость каждого велосипедиста постоянна.
Ответ:
Решение: