Прямые $y=ax+b$, $y=bx+c$, $y=cx+d$, $y=dx+a$ ограничивают квадрат. Чему может равняться площадь этого квадрата (укажите все возможности)?
Ответ:
Решение:
Четыре города и пять дорог расположены так, как изображено на рисунке. Длины всех дорог равны целому числу километров. Длины четырёх дорог указаны на рисунке. Сколько километров составляет длина оставшейся?
Ответ:
Решение:
На прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Получилось шесть отрезков: $AB$, $BC$, $CD$, $AC$, $BD$, $AD$. Кирилл измерил длины пяти из этих отрезков и выписал получившиеся числа в порядке возрастания: 1, 4, 5, 10, 14.
1. Укажите любое возможное значение длины шестого отрезка.
2. Чему может равняться длина шестого отрезка? Укажите все возможные варианты.
1. Укажите любое возможное значение длины шестого отрезка.
2. Чему может равняться длина шестого отрезка? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение:
На сторонах правильного семиугольника со стороной 2 отмечены две точки $A$ и $B$. Чему может быть равна длина отрезка $AB$?
a) 1;
b) 4;
c) 7;
d) 15.
a) 1;
b) 4;
c) 7;
d) 15.
Ответ:
Решение:
Петя и Вася плавают в бассейне размера 10 м $\times$ 17 м. Известно, что кратчайшее расстояние от Пети до края бассейна равно 2 метра, а кратчайшее расстояние от Васи до края — 3 метра. Какое максимальное расстояние может быть между Петей и Васей?
Ответ:
Решение:
Первоклассник составил из шести палочек два треугольника. Затем он разобрал треугольники обратно и разбил шесть палочек на две группы по три палочки: в первой группе оказались три самых длинных палочки, а во второй — три самых коротких. Обязательно ли можно составить треугольник из трех палочек первой группы? А из трех палочек второй группы?
Ответ:
Решение:
Точка $M$ — середина стороны $BC$ треугольника $ABC$, в котором $AB=17$, $AC=30$, $BC=19$. На стороне $AB$ как на диаметре построена окружность. На этой окружности выбирается произвольная точка $X$. Какое минимальное значение может принимать длина отрезка $MX$?
Ответ:
Решение:
Ослик Иа-Иа составил из шести палочек два треугольника. Затем он разобрал треугольники обратно и покрасил шесть палочек в два цвета: три самых коротких — в жёлтый цвет, а три остальных — в зелёный. Обязательно ли ослику удастся составить два треугольника, один — из трёх жёлтых палочек, а другой — из трёх зелёных?
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$, в котором $AB=BC$. На стороне $BC$ нашлась такая точка $D$, что $CD=AC$. Точка $E$ на луче $DA$ такова, что $DE=AC$. Какой отрезок длиннее — $EC$ или $AC$?
Ответ:
Решение:
Три биссектрисы неравнобедренного треугольника пересекаются в точке $I$. Докажите, что каждое из расстояний от точки $I$ до вершин треугольника меньше длины средней по величине стороны треугольника.
Ответ:
Решение:
Докажите, что внутри любого неравностороннего треугольника $ABC$ можно отметить точку $D$ так, что сумма углов $ABD$, $BCD$ и $CAD$ будет меньше 60 градусов.
Ответ:
Решение:
Вася разобрал каркас треугольной пирамиды в кабинете математики и хочет из её шести рёбер составить два треугольника так, чтобы каждое ребро являлось стороной ровно одного треугольника. Всегда ли Вася сможет это сделать?
Ответ:
Решение:
Вдоль трассы стоят 60 дорожных знаков. На каждом из них написана сумма расстояний до оставшихся 59 знаков. Возможно ли такое, что на знаках написаны 60 различных натуральных чисел? (Расстояния между знаками не обязательно целые.)
Ответ:
Решение:
Точки $D$ и $E$ лежат на продолжениях сторон $AB$ и $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ за точки $B$ и $C$ соответственно. Точки $M$ и $N$ — середины отрезков $AE$ и $DC$. Докажите, что $MN\gt AD/2$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ угол при вершине $A$ равен 45 градусам. Докажите, что периметр этого треугольника меньше удвоенной суммы его высот, опущенных из вершин $B$ и $C$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$, у которого угол $B$ меньше 120 градусов, медиана $BD$ короче половины стороны $AB$. Докажите, что эта медиана длиннее половины стороны $BC$.
Ответ:
Решение:
Два бегуна бегают с равными постоянными скоростями по диагоналям $AC$ и $BD$ соответственно квадрата $ABCD$. Добежав до конца диагонали, бегун сразу поворачивает обратно. Стартовали они одновременно из двух случайно выбранных точек своих диагоналей. Докажите, что найдётся момент, когда расстояние между бегунами будет строго меньше половины диагонали квадрата.
Ответ:
Решение:
Радиусы пяти концентрических окружностей $\omega_0$, $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$, $\omega_4$ образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию со знаменателем $q$. При каком наибольшем $q$ можно нарисовать незамкнутую ломаную $A_0A_1A_2A_3A_4$, состоящую из четырёх отрезков равной длины, в которой $A_i$ лежит на $\omega_i$ при всех $i=0$, 1, 2, 3, 4?
Ответ:
Решение:
Назовем два числа почти равными, если они равны или отличаются друг от друга не более, чем на единицу. Верно ли, что из любого прямоугольника с натуральными сторонами можно вырезать какой-нибудь прямоугольник с натуральными сторонами, площадь которого почти равна половине площади исходного прямоугольника? Стороны вырезаемого прямоугольника не обязательно параллельны сторонам исходного прямоугольника.
Ответ:
Решение:
Периметр выпуклого пятиугольника $ABCDE$ равен 2. Пусть $O_a$, $O_b$, $O_c$, $O_d$, $O_e$ — центры описанных окружностей треугольников $EAB$, $ABC$, $BCD$, $CDE$, $DEA$ соответственно. Пусть $M_a$, $M_b$, $M_c$, $M_d$, $M_e$ — середины отрезков $AO_a$, $BO_b$, $CO_c$, $DO_d$, $EO_e$ соответственно. Докажите, что \[ M_aM_b+M_bM_c+M_cM_d+M_dM_e+M_eM_a\geqslant 1. \]
Ответ:
Решение: