Внутри треугольника $ABC$ выбрана точка $K$ такая, что \[ \angle KCB+\angle ACB=\angle KBC+\angle ABC=120^\circ. \] На продолжении стороны $AB$ за точку $B$ выбрана точка $P$, а на продолжении стороны $AC$ за точку $C$ — точка $Q$ таким образом, что $BK=BP$ и $CK=CQ$. Докажите, что $BQ=CP$.
Ответ:
Решение:
На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ выбраны точки $P$ и $Q$ соответственно. Отрезки $CP$ и $AQ$ пересекаются в точке $R$. Оказалось, что $AR=CR=PR+QR$. Докажите, что из отрезков $AP$, $CQ$ и $PQ$ можно составить треугольник, один из углов которого равен углу $B$.
Ответ:
Решение:
Дана трапеция $ABCD$, в которой $AD\parallel BC$, а лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $G$. Общие внешние касательные к окружностям, описанным около треугольников $ABC$ и $ACD$, пересекаются в точке $E$. Общие внешние касательные к окружностям, описанным около треугольников $ABD$ и $BCD$, пересекаются в точке $F$. Докажите, что точки $E$, $F$ и $G$ лежат на одной прямой.
Ответ:
Решение:
В остроугольном неравнобедренном треугольнике $ABC$ проведены медиана $AM$ и высота $AH$. На прямых $AB$ и $AC$ отмечены точки $Q$ и $P$ соответственно так, что $QM\perp AC$ и $PM\perp AB$. Окружность, описанная около треугольника $PMQ$, пересекает прямую $BC$ вторично в точке $X$. Докажите, что $BH=CX$.
Ответ:
Решение:
Биссектриса угла $A$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекает сторону $CD$ в точке $K$. Оказалось, что $DK=BC$ и $KC+AB=AD$. Докажите, что $\angle BCD=\angle ADC$.
Ответ:
Решение:
Прямые, содержащие стороны данного остроугольного треугольника $T$, покрасили в красный, зелёный и синий цвета. Затем эти прямые повернули вокруг центра описанной окружности данного треугольника по часовой стрелке на угол $120^\circ$ (прямая сохраняет свой цвет после поворота). Докажите, что три точки пересечения одноцветных прямых являются вершинами треугольника, равного $T$.
Ответ:
Решение:
На плоскости отмечены 5 точек. Докажите, что можно выбрать некоторые из них и переместить их так, чтобы расстояние между любыми двумя перемещёнными точками не изменилось, а в результате на плоскости осталось множество из 5 точек, симметричное относительно некоторой прямой.
Ответ:
Решение:
Внутри треугольника $ABC$ расположена точка $P$. На стороне $BC$ выбрана точка $H$, не совпадающая с серединой стороны. Оказалось, что биссектриса угла $AHP$ перпендикулярна стороне $BC$, угол $ABC$ равен углу $HCP$ и $BP=AC$. Докажите, что $BH=AH$.
Ответ:
Решение:
Дан четырёхугольник $ABCD$, причём \[AD=BC,\quad \angle DAC=97^\circ,\quad \angle CBD=83^\circ\quad\text{и}\quad \angle BCD=65^\circ.\] Найдите $\angle ACD$ (ответ дайте в градусах).
Ответ:
Решение:
Точки $M$ и $N$ — середины сторон $BC$ и $AD$ четырёхугольника $ABCD$. Известно, что $\angle B=150^\circ$, $\angle C=90^\circ$ и $AB=CD$. Найдите угол между прямыми $MN$ и $BC$.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$. Прямая $l$ касается вписанной в него окружности. Обозначим через $l_a$, $l_b$, $l_c$ прямые, симметричные $l$ относительно биссектрис внешних углов треугольника. Докажите, что треугольник, образованный этими прямыми, равен треугольнику $ABC$.
Ответ:
Решение:
Дан остроугольный треугольник $ABC$. Для произвольной прямой $\ell$ обозначим через $\ell_a$, $\ell_b$, $\ell_c$ прямые, симметричные $\ell$ относительно сторон треугольника, а через $I_\ell$ — центр вписанной окружности треугольника, образованного этими прямыми. Найдите геометрическое место точек $I_\ell$.
Ответ:
Решение:
Можно ли сложить прямоугольный лист бумаги, согнув его несколько раз, и сделать один прямолинейный разрез так, что после разворачивания отрезанная часть превратится
а) в правильный треугольник;
б) в равнобедренный треугольник с заданным углом при основании;
в) в треугольник с заданными углами?
а) в правильный треугольник;
б) в равнобедренный треугольник с заданным углом при основании;
в) в треугольник с заданными углами?
Ответ:
Решение:
На боковых сторонах $AB$ и $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ наружу построены равнобедренные прямоугольные треугольники $ABD$ и $BCF$ с катетами, равными соответствующим сторонам $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$. Прямые $FB$ и $DC$ пересекаются в точке $M$, а $FA$ и $BC$ — в точке $N$. Найдите градусную меру $\angle BMN$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ с основанием $AC=14$ и боковыми сторонами $AB=13$ и $BC=15$ из центра вписанной окружности строится ломаная линия из трех звеньев так, что конечная ее точка — центр описанной около $ABC$ окружности, а еще две точки $M$ и $K$ лежат на боковых сторонах треугольника $ABC$. Найдите площадь треугольника $MBK$, если длина этой ломаной линии наименьшая.
Ответ:
Решение:
На сторонах выпуклого шестиугольника $ABCDEF$ во внешнюю сторону построены правильные треугольники $ABC_1$, $BCD_1$, $CDE_1$, $DEF_1$, $EFA_1$ и $FAB_1$. Оказалось, что треугольник $B_1D_1F_1$ — правильный. Докажите, что треугольник $A_1C_1E_1$ также правильный.
Ответ:
Решение:
Внутри треугольника $ABC$ взята такая точка $D$, что $BD=CD$, $\angle BDC=120^\circ$. Вне треугольника $ABC$ взята такая точка $E$, что $AE=CE$, $\angle AEC=60^\circ$ и точки $B$ и $E$ находятся в разных полуплоскостях относительно $AC$. Докажите, что $\angle AFD=90^\circ$, где $F$ — середина отрезка $BE$.
Ответ:
Решение:
Внутри выпуклого четырёхугольника $A_1A_2B_2B_1$ нашлась такая точка $C$, что треугольники $CA_1A_2$ и $CB_1B_2$ правильные. Точки $C_1$ и $C_2$ симметричны точке $C$ относительно прямых $A_2B_2$ и $A_1B_1$ соответственно. Докажите, что треугольники $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ подобны.
Ответ:
Решение:
На квадратном столе лежит квадратная скатерть так, что ни один угол стола не закрыт, но с каждой стороны стола свисает треугольный кусок скатерти. Известно, что какие-то два соседних куска равны. Докажите, что и два других куска тоже равны. (Скатерть нигде не накладывается сама на себя, её размеры могут отличаться от размеров стола.)
Ответ:
Решение:
Бумажный квадрат площади 17 согнули по прямой, проходящей через его центр, после чего соприкасающиеся части склеили. Найдите максимально возможную площадь получившейся бумажной фигуры.
Ответ:
Решение: