Решить систему уравнений \[\begin{cases} \dfrac{xy}{4}+\dfrac{xz}{9}-\dfrac{yz}{25}=1+2\ln\dfrac{5x}{6},\\ \dfrac{xy}{4}+\dfrac{yz}{25}-\dfrac{xz}{9}=1+2\ln\dfrac{3y}{10},\\ \dfrac{yz}{25}+\dfrac{xz}{9}-\dfrac{xy}{4}=1+2\ln\dfrac{2z}{15}.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Найти все пары вещественных чисел $(x,y)$, удовлетворяющие неравенству \[\log_{3^x+2^{-x}}\left(3-\cos4x+\sin\dfrac{3y}{2}\right)\leqslant\log_{\left(\left|\cos\frac y3\right|+\left|\sin\frac y3\right|\right)}\left(|\sin3x\cos2y|\right).\]
Ответ:
Решение:
Решить систему уравнений \[\begin{cases} x+y^4-2y^2=\ln x,\\ 2\operatorname{arctg}x+\arcsin y=0.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
При каких значениях $n=1,2,\ldots,9$ уравнение \[ \left(\log_2^2\sin\left(\pi x+\frac{7\pi n}{6}\right)+\log_2\sin\left(\pi x+\frac{7\pi n}{6}\right)+0{,}5\right)\cdot\log_2\left(9\cdot3^{4x^2-6x}-2\cdot3^{2x^2-3x+2}+17\right)=3\log_2\sin\left(\pi x+\frac{7\pi n}{6}\right)+1{,}5 \] имеет решение?
Ответ:
Решение:
Решите систему: \[ \begin{cases} x\left(1+x^2\right)\left(1+x^4\right)+y\left(1+y^2\right)\left(1+y^4\right)=0,\\ xy+1000=0. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Решите уравнение \[ x+\log_2 x-\log_3 x+\log_4 x-7=\left(\dfrac34-\log_3\sqrt2\right)\cdot\log_2 49. \]
Ответ:
Решение:
Пользуясь свойствами функций, решите уравнение: \[ \frac{\left(\frac{x^3+5}{6}\right)^3+5}{6}=x. \] В ответ укажите сумму квадратов его корней.
Ответ:
Решение:
Известно, что число $a$ удовлетворяет уравнению $x^3+3x^2+6x-9=0$, а число $b$ — уравнению $x^3+3x^2+6x+17=0$. Найдите наибольшее возможное значение суммы $a+b$.
Ответ:
Решение:
Известно, что число $a$ удовлетворяет уравнению $x^3+6x^2+17x+7=0$, а число $b$ — уравнению $x^3-3x^2+8x+5=0$. Найдите наименьшее возможное значение суммы $a+b$.
Ответ:
Решение:
Решите неравенство \[ 5^{\log_{12}\left(x^2+18x\right)}+x^2\geqslant\left|x^2+18x\right|^{\log_{12}13}-18x. \]
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений \[\begin{cases} \sqrt{x+1}-\sqrt{6-y}+5=2\sqrt{6+5x-y^2},\\ x^4+5x^2-\sqrt y=y^4-\sqrt x+5y^2.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Решить уравнение \[ \left(\sin x+\sqrt{1+\sin^2x}\right)\left(\cos2x+\sqrt{1+\cos^22x}\right)=1. \]
Ответ:
Решение:
Решить уравнение \[ \left(\log_2x+\sqrt{\log_2^2x+1}\right)\left(\log_2(x-2)+\sqrt{\log_2^2(x-2)+1}\right)=1. \]
Ответ:
Решение:
При каких тройках чисел $(x;y;z)$, удовлетворяющих системе \[ \begin{cases} \sin x-\sin y=y-x,\\ \sin y-\sin z=y-z, \end{cases} \] выражение $\left|\dfrac{z}{1+xy}\right|$ принимает наибольшее возможное значение?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Решить уравнение \[ \left(\sin2x+\sqrt{1+\sin^22x}\right)\left(\sin3x+\sqrt{1+\sin^23x}\right)=1. \]
Ответ:
Решение:
Найти все пары чисел $(x;y)$, для которых \[ \sqrt{\cos x+1}+\sqrt{\cos2x+2}+\sqrt{\cos y+3}=\sqrt{\cos y+1}+\sqrt{\cos x+2}+\sqrt{\cos2x+3}=\sqrt{\cos2x+1}+\sqrt{\cos y+2}+\sqrt{\cos x+3}. \]
Ответ:
Решение: