В правильную треугольную пирамиду $SABC$ вписан цилиндр так, что его верхнее основание касается боковых граней пирамиды и вписано в сечение пирамиды плоскостью, проходящей параллельно основанию через точку $M$, делящей высоту $SO$ в отношении $SM:MO=2:3$, а нижнее основание лежит в плоскости основания пирамиды. Найти объём пирамиды, если объём цилиндра равен $4\pi\sqrt3$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
В правильную треугольную пирамиду $SABC$ вписана правильная треугольная призма $LMNL_{1}M_{1}N_{1}$. Все три вершины основания $LMN$ призмы лежат на боковых рёбрах пирамиды. Известно, что $LL_{1}=LM$, т. е. высота призмы равна стороне её основания. Кроме того, $SA=AB=a$, т. е. каждое ребро пирамиды равно $a$. Чему равен объём призмы?
Ответ:
Решение:
В правильную четырёхугольную пирамиду $SABCD$ вписан куб. Все четыре вершины одной из граней куба лежат на основании $ABCD$ пирамиды. Все четыре вершины противоположной грани куба лежат на апофемах пирамиды. Известно, что $SA=AB=a$, т. е. боковое ребро пирамиды равно $a$ и равно стороне её основания. Чему равен объём куба?
Ответ:
Решение:
Плоскость $\alpha$ проходит через диаметр $AB$ сферы. Через точку $B$ проведена плоскость, касательная к сфере. На этой плоскости взята точка $K$, причём отрезок $KB$ равен радиусу сферы. Луч $AK$ пересекает сферу в точке $M$. Через точку $M$ проведена плоскость $\beta$, перпендикулярная прямой $AB$. Отрезок $CD$ — общая хорда окружностей сечений сферы плоскостями $\alpha$ и $\beta$.
а) Докажите, что $CD$ — диаметр окружности сечения сферы плоскостью $\beta$.
б) Вершина конуса совпадает с точкой $B$, а окружность основания — с окружностью сечения сферы плоскостью $\beta$. Найдите объём конуса, если радиус сферы равен 5.
а) Докажите, что $CD$ — диаметр окружности сечения сферы плоскостью $\beta$.
б) Вершина конуса совпадает с точкой $B$, а окружность основания — с окружностью сечения сферы плоскостью $\beta$. Найдите объём конуса, если радиус сферы равен 5.
Ответ:
Решение:
В конусе радиус основания $10\sqrt3$, а угол наклона образующей к плоскости основания равен $60^{\circ}$. Найти отношение площади полной поверхности конуса к площади поверхности вписанного в него шара.
Ответ:
Решение:
На ребре $CC_1$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ выбрана точка $M$ так, что центр сферы, описанной около пирамиды $MAA_1B_1B$, лежит в грани $AA_1B_1B$. Известно, что радиус сферы, описанной около пирамиды $MABC$, равен $5$, а ребро основания призмы равно $4\sqrt{3}$. Найдите:
а) отношение объёма пирамиды $MAA_1B_1B$ к объёму призмы;
б) длину отрезка $MC$;
в) площадь полной поверхности призмы.
а) отношение объёма пирамиды $MAA_1B_1B$ к объёму призмы;
б) длину отрезка $MC$;
в) площадь полной поверхности призмы.
Ответ:
Решение:
На ребре $BB_1$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ взята точка $T$ такая, что $BT:B_1T=2:5$. Точка $T$ является вершиной прямого кругового конуса, такого, что три вершины призмы принадлежат окружности его основания.
а) Найдите отношение высоты призмы к ребру её основания.
б) Пусть дополнительно известно, что $CC_1=7$. Найдите объём конуса.
а) Найдите отношение высоты призмы к ребру её основания.
б) Пусть дополнительно известно, что $CC_1=7$. Найдите объём конуса.
Ответ:
Решение:
На ребре $SA$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с вершиной $S$ отмечена точка $K$ такая, что $AK:KS=1:4$. Точка $K$ является вершиной прямого кругового конуса, на окружности основания которого лежат три вершины пирамиды $SABCD$.
а) Найдите отношение $DS:BC$.
б) Пусть дополнительно известно, что высота пирамиды $SABCD$ равна $5$. Найдите объём конуса.
а) Найдите отношение $DS:BC$.
б) Пусть дополнительно известно, что высота пирамиды $SABCD$ равна $5$. Найдите объём конуса.
Ответ:
Решение:
Даны правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$ и конус, вершина которого лежит в точке $A$, а окружность основания проходит через точки $B_1$ и $C_1$. Известно, что точки $B$ и $C$ лежат на боковой поверхности конуса. Найдите угол между образующей конуса и его высотой, если $AB=1$, $AB_1=5$. В ответ запишите квадрат тангенса найденного угла.
Ответ:
Решение:
Рассмотрим всевозможные тетраэдры $ABCD$, в которых $AB=2$, $AC=CB=5$, $AD=DB=6$. Каждый такой тетраэдр впишем в цилиндр так, чтобы все вершины оказались на его боковой поверхности, причём ребро $CD$ было параллельно оси цилиндра. Выберем тетраэдр, для которого радиус цилиндра — наименьший из полученных. Какие значения может принимать длина $CD$ в таком тетраэдре?
Ответ:
Решение:
Плоскости $P$ и $Q$, параллельные основанию правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, пересекают ребро $SA$ пирамиды в точках $M$ и $N$. Длины отрезков $SM$, $SN$ и $SA$ являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии со знаменателем $q=3$. Найти двугранный угол при основании пирамиды, если известно, что в усеченную пирамиду с плоскостями оснований $P$ и $Q$ можно вписать шар.
Ответ:
Решение:
Из шара какого наименьшего радиуса можно вырезать правильную четырёхугольную пирамиду с ребром основания 16 и боковым ребром 15?
Ответ:
Решение:
В прямой круговой конус, радиус основания которого равен $2$, вписан шар. Найдите объём этого шара, если он в три раза меньше объёма конуса.
Ответ:
Решение:
Угол при вершине в осевом сечении конуса равен $60^\circ$. Снаружи этого конуса расположены 11 шаров радиуса 3, каждый из которых касается двух соседних шаров, боковой поверхности конуса и плоскости его основания. Найдите радиус основания конуса.
Ответ:
Решение:
В сферу радиуса $\sqrt{3}$ вписан параллелепипед, объём которого равен 8. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
В треугольной пирамиде длины перпендикуляров, опущенных из четырёх вершин на противоположные грани, равны 3, 4, 7 и $84/37$ соответственно. Найдите радиус вписанного в эту пирамиду шара.
Ответ:
Решение:
Внутри прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ расположены два шара $\omega_1$ и $\omega_2$, касающиеся друг друга внешним образом; кроме того, шар $\omega_1$ касается граней $ABCD$, $ABB_1A_1$, $ADD_1A_1$, а шар $\omega_2$ касается граней $A_1B_1C_1D_1$, $BCC_1B_1$, $CDD_1C_1$. Известно, что $AB=6-\sqrt{2}$, $A_1D_1=6+\sqrt{2}$, $CC_1=6$. Найти расстояние между центрами шаров $\omega_1$ и $\omega_2$. Найти наибольший и наименьший суммарный объём шаров.
Ответ:
Решение:
Дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ и прямой круговой цилиндр $Z$ высоты $17$, основания которого ограничивают окружности $\omega_1$ и $\omega_2$. Известно, что вершины $A$ и $B$ лежат на окружности $\omega_1$, вершины $C$ и $D$ — на окружности $\omega_2$, а вершина $S$ — на боковой поверхности цилиндра $Z$ и удалена от плоскости окружности $\omega_2$ на расстояние $10$. Найдите квадрат радиуса цилиндра.
Ответ:
Решение: