Боковые рёбра $SA$, $SB$ и $SC$ треугольной пирамиды $SABC$ взаимно перпендикулярны. Точка $D$ лежит на основании пирамиды $ABC$ на расстоянии $\sqrt5$ от ребра $SA$, на расстоянии $\sqrt{13}$ от ребра $SB$ и на расстоянии $\sqrt{10}$ от ребра $SC$. Какое наименьшее значение может иметь объём пирамиды $SABC$ при этих условиях?
Ответ:
Решение:
В тетраэдре $ABCD$ скрещивающиеся рёбра попарно равны. Через середину отрезка $AH_A$, где $H_A$ — точка пересечения высот грани $BCD$, провели прямую $h_A$ перпендикулярно плоскости $BCD$. Аналогичным образом определили точки $H_B$, $H_C$, $H_D$ и построили прямые $h_B$, $h_C$, $h_D$ соответственно для трёх других граней тетраэдра. Докажите, что прямые $h_A$, $h_B$, $h_C$, $h_D$ пересекаются в одной точке.
Ответ:
Решение:
Даны две треугольные пирамиды с общим основанием $ABC$. Их вершины $S$ и $R$ лежат по разные стороны от плоскости $ABC$. Все боковые рёбра одной пирамиды параллельны соответствующим боковым граням другой. Докажите, что объём одной пирамиды вдвое больше объёма другой.
Ответ:
Решение:
В тетраэдре $ABCD$ суммы трёх плоских углов при каждой вершине равны $180^\circ$. Найдите объём тетраэдра, если $BC=4$, $\cos\angle BAC=3/4$, $\sin\angle CBD=5\sqrt7/16$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной пирамиде $ABCD$ сторона основания $ABC$ равна $12$, $\angle ADB=2\,\mathrm{arctg}(3/4)$. В треугольнике $ABD$ проведена биссектриса $BA_1$, а в треугольнике $BCD$ проведены медиана $BC_1$ и высота $CB_1$. Найти:
1) объем пирамиды $A_1B_1C_1D$;
2) площадь проекции треугольника $A_1B_1C_1$ на плоскость $ABC$.
1) объем пирамиды $A_1B_1C_1D$;
2) площадь проекции треугольника $A_1B_1C_1$ на плоскость $ABC$.
Ответ:
Решение:
Боковые грани пирамиды — четыре равных равнобедренных треугольника. На этих гранях проведены отрезки, параллельные основанию, как показано на чертеже. Длины путей, отмеченные на чертежах красным, соответственно равны $a$, $b$ и $c$.
Выберите верное утверждение:
a) $c\gt b=a$,
b) $b=c\gt a$,
c) $a=b=c$,
d) $a\lt b\lt c$.
Выберите верное утверждение:
a) $c\gt b=a$,
b) $b=c\gt a$,
c) $a=b=c$,
d) $a\lt b\lt c$.
Ответ:
Решение:
В треугольной пирамиде $SABC$ боковое ребро $SA$ перпендикулярно основанию $ABC$. Известно, что биссектрисы плоских углов $BAC$ и $BSC$ пересекаются. Докажите, что углы $ABC$ и $ACB$ равны.
Ответ:
Решение:
Существует ли тетраэдр $ABCD$, в котором $AB=AC=AD=BC$, а суммы плоских углов при каждой из вершин $B$ и $C$ равны по $150^\circ$?
Ответ:
Решение:
Каждая боковая грань пирамиды является прямоугольным треугольником, в котором прямой угол примыкает к основанию пирамиды. В пирамиде проведена высота. Может ли она лежать внутри пирамиды?
Ответ:
Решение:
Дана треугольная пирамида $ABCD$ с плоскими прямыми углами при вершине $D$, в которой $CD=AD+DB$. Докажите, что сумма плоских углов при вершине $C$ равна $90^\circ$.
Ответ:
Решение:
Про тетраэдр $ABCD$ известно, что $AB\cdot CD=AC\cdot BD=AD\cdot BC$. Пусть $I_A$, $I_B$, $I_C$, $I_D$ — центры окружностей, вписанных в треугольники $BCD$, $CDA$, $DAB$ и $ABC$ соответственно. Докажите, что отрезки $AI_A$, $BI_B$, $CI_C$, $DI_D$ пересекаются в одной точке.
Ответ:
Решение:
Все вершины правильного тетраэдра $ABCD$ находятся по одну сторону от плоскости $\alpha$. Оказалось, что проекции вершин тетраэдра на плоскость $\alpha$ являются вершинами некоторого квадрата. Найдите значение величины $AB^2$, если известно, что расстояния от точек $A$ и $B$ до плоскости $\alpha$ равны 17 и 21 соответственно.
Ответ:
Решение:
Дан тетраэдр $ABCD$, все грани которого являются подобными прямоугольными треугольниками с острыми углами при вершинах $A$ и $B$. Ребро $AB$ равно 1. Найдите длину наименьшего ребра тетраэдра.
Ответ:
Решение:
В треугольной пирамиде $ABCD$ на её гранях $BCD$ и $ACD$ нашлись соответственно точки $A'$ и $B'$ такие, что $\angle AB'C=\angle AB'D=\angle BA'C=\angle BA'D=120^\circ$. Известно, что прямые $AA'$ и $BB'$ пересекаются. Докажите, что точки $A'$ и $B'$ равноудалены от прямой $CD$.
Ответ:
Решение:
Дан тетраэдр $ABCD$. Известно, что \[AD=BC=10,\quad AC=BD=11,\quad AB=9\quad\text{и}\quad CD=13.\] Борис выбирает точку $X$ внутри тетраэдра и считает сумму \[AX+BX+CX+DX.\] Какое наименьшее значение он может получить?
Ответ:
Решение:
В тетраэдре $ABCD$ проведены высоты $BE$ и $CF$. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна ребру $AD$ и проходит через его середину. Известно, что точки $A$, $C$, $D$ и $E$ лежат на одной окружности, и точки $A$, $B$, $D$ и $F$ также лежат на одной окружности. Докажите, что расстояния от точек $E$ и $F$ до плоскости $\alpha$ равны.
Ответ:
Решение:
В тетраэдре $SABC$ длины всех шести рёбер различны. Точка $A'$ в плоскости $SBC$ симметрична точке $S$ относительно серединного перпендикуляра к отрезку $BC$. Точка $B'$ в плоскости $SAC$ и точка $C'$ в плоскости $SAB$ определяются аналогично. Докажите, что плоскости $AB'C'$, $A'BC'$, $A'B'C$ и $ABC$ имеют общую точку.
Ответ:
Решение:
Плоскость $\alpha$ пересекает рёбра $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ тетраэдра $ABCD$ в точках $X$, $Y$, $Z$ и $T$ соответственно. Оказалось, что точки $Y$ и $T$ лежат на окружности $\omega$, построенной на отрезке $XZ$ как на диаметре. Точка $P$ отмечена в плоскости $\alpha$ так, что прямые $PY$ и $PT$ касаются окружности $\omega$. Докажите, что середины рёбер $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ и точка $P$ лежат в одной плоскости.
Ответ:
Решение: