Внутри прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ расположены два шара $\omega_1$ и $\omega_2$, касающиеся друг друга внешним образом; кроме того, шар $\omega_1$ касается граней $ABCD$, $ABB_1A_1$, $ADD_1A_1$, а шар $\omega_2$ касается граней $A_1B_1C_1D_1$, $BCC_1B_1$, $CDD_1C_1$. Известно, что $AB=6-\sqrt{2}$, $A_1D_1=6+\sqrt{2}$, $CC_1=6$. Найти расстояние между центрами шаров $\omega_1$ и $\omega_2$. Найти наибольший и наименьший суммарный объём шаров.
Ответ:
Решение:
Дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ и прямой круговой цилиндр $Z$ высоты $17$, основания которого ограничивают окружности $\omega_1$ и $\omega_2$. Известно, что вершины $A$ и $B$ лежат на окружности $\omega_1$, вершины $C$ и $D$ — на окружности $\omega_2$, а вершина $S$ — на боковой поверхности цилиндра $Z$ и удалена от плоскости окружности $\omega_2$ на расстояние $10$. Найдите квадрат радиуса цилиндра.
Ответ:
Решение:
В основании четырёхугольной пирамиды $SABCD$ лежит квадрат $ABCD$ со стороной $AB=18$. На продолжении диагонали $CA$ за точку $A$ выбрана точка $H$ так, что $AH=3CA$. Отрезок $SH=4$ перпендикулярен плоскости основания пирамиды. Какой наибольший объём $V$ может иметь цилиндр, расположенный внутри пирамиды так, что одно из его оснований лежит на основании пирамиды? В ответе укажите величину $V/\pi$.
Ответ:
Решение:
В основании четырёхугольной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит ромб $ABCD$, в котором $CD=3$ и $\angle ABD=30^\circ$. Сфера проходит через вершины $D$, $C$, $B$, $B_1$, $A_1$, $D_1$.
а) Найдите площадь круга, полученного в сечении сферы плоскостью, проходящей через точки $A$, $C$ и $D$.
б) Найдите угол $C_1AB$.
в) Пусть дополнительно известно, что радиус сферы равен $6$. Найдите объём призмы.
а) Найдите площадь круга, полученного в сечении сферы плоскостью, проходящей через точки $A$, $C$ и $D$.
б) Найдите угол $C_1AB$.
в) Пусть дополнительно известно, что радиус сферы равен $6$. Найдите объём призмы.
Ответ:
Решение:
Дана правильная призма $KLMNK_1L_1M_1N_1$ с основанием $KLMN$. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны $L_1N$ и проходят через вершины $K$ и $N_1$ соответственно. Пусть $A$ и $B$ соответственно — точки пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ с диагональю $L_1N$, при этом $AN\lt BN$.
а) Найдите отношение $L_1B:AN$.
б) Пусть дополнительно известно, что сфера радиуса $1/2$ касается всех боковых граней призмы, а также плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Найдите отрезок $L_1N$ и объём призмы $KLMNK_1L_1M_1N_1$.
а) Найдите отношение $L_1B:AN$.
б) Пусть дополнительно известно, что сфера радиуса $1/2$ касается всех боковых граней призмы, а также плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Найдите отрезок $L_1N$ и объём призмы $KLMNK_1L_1M_1N_1$.
Ответ:
Решение:
Дана прямая треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Сфера с диаметром $AC$ пересекает рёбра $AB$ и $BC$ соответственно в точках $F$ и $N$, отличных от вершин призмы. Отрезки $C_1F$ и $A_1N$ пересекаются в точке $P$, и при этом $A_1N=7$, $C_1P=6$.
а) Найдите угол $PFA$.
б) Найдите отношение $AF:FB$.
в) Пусть дополнительно известно, что $AB=6$. Найдите объём призмы.
а) Найдите угол $PFA$.
б) Найдите отношение $AF:FB$.
в) Пусть дополнительно известно, что $AB=6$. Найдите объём призмы.
Ответ:
Решение:
Основание треугольной пирамиды $ABCD$ — правильный треугольник $ABC$. Объём пирамиды равен $\dfrac{25}{\sqrt3}$, а её высота, проведённая из вершины $D$, равна $3$. Точка $M$ — середина ребра $CD$. Известно, что радиусы сфер, вписанных в пирамиды $ABCM$ и $ABDM$, равны между собой.
а) Найдите все возможные значения угла между гранями пирамиды при ребре $AB$.
б) Найдите все возможные значения длины ребра $CD$, если дополнительно известно, что грани $BCD$ и $ABC$ взаимно перпендикулярны.
а) Найдите все возможные значения угла между гранями пирамиды при ребре $AB$.
б) Найдите все возможные значения длины ребра $CD$, если дополнительно известно, что грани $BCD$ и $ABC$ взаимно перпендикулярны.
Ответ:
Решение:
В правильный тетраэдр $KLMN$ с ребром $6\sqrt3$ вписана сфера $\Omega$. Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ расположен так, что его диагональ $A_1C_1$ лежит на прямой $KL$, а прямая $BD$ касается сферы $\Omega$ в точке, лежащей на отрезке $BD$. Какую наименьшую площадь поверхности может иметь куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$? Ответ округлите до десятых.
Ответ:
Решение:
В пирамиду $SABC$ вписан прямой круговой цилиндр так, что одно основание (с центром $O$) лежит в треугольнике $ABC$, а другое касается граней $SAB$, $SAC$ и $SBC$. Высота пирамиды $SH$ вдвое больше высоты цилиндра. Пусть $M$ — геометрическое место точек $H$, а $N$ — геометрическое место точек $O$. Найдите площадь $M$, если площадь $N$ равна $S$.
Ответ:
Решение:
Боковое ребро правильной треугольной пирамиды наклонено к плоскости ее основания под углом $45^\circ$. В пирамиду вписан куб так, что четыре его вершины лежат на основании пирамиды, а другие четыре — на ее боковых гранях. Найти отношение объемов куба и пирамиды.
Ответ:
Решение:
В треугольной пирамиде $SABC$ ребро $SA$ перпендикулярно плоскости $ABC$, $\angle SCB=90^\circ$, $BC=\sqrt5$, $AC=\sqrt7$. Последовательность точек $O_n$ строится следующим образом: точка $O_1$ — центр сферы, описанной около пирамиды $SABC$, и для каждого натурального $n\geqslant2$ точка $O_n$ есть центр сферы, описанной около пирамиды $O_{n-1}ABC$. Какую длину должно иметь ребро $SA$, чтобы множество $\{O_n\}$ состояло ровно из двух различных точек?
Ответ:
Решение:
В правильную треугольную призму $ABCA_1B_1C_1$ вписан шар радиуса $\sqrt{10}$. Найдите объём вписанного в шар прямого кругового цилиндра, основание которого лежит в плоскости, проходящей через точку $A$ и середины рёбер $BB_1$ и $CC_1$.
Ответ:
Решение:
Радиус сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду, равен $R$. Найдите величину двугранного угла при боковом ребре этой пирамиды, при которой максимален объём другой пирамиды, вершинами которой служат центр вписанной в исходную пирамиду сферы и точки касания этой сферы с боковыми гранями исходной пирамиды.
Ответ:
Решение:
Одно основание правильной $n$-угольной призмы ($n\geqslant 3$) имеет $n$ общих точек со сферой радиуса 3; другое основание имеет с этой сферой одну общую точку. Какие значения может принимать объём призмы?
Ответ:
Решение:
В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ сторона основания равна $\frac{2}{\sqrt3}$, а боковая сторона $AA_1=2$.
а) Докажите, что в призму можно вписать шар, и найдите его радиус.
б) Найдите объём наименьшей части шара, которую отсекает плоскость, проходящая через точки $B$, $A_1$ и $E$.
а) Докажите, что в призму можно вписать шар, и найдите его радиус.
б) Найдите объём наименьшей части шара, которую отсекает плоскость, проходящая через точки $B$, $A_1$ и $E$.
Ответ:
Решение:
В конус вписан цилиндр объёма $21$. Плоскость верхнего основания этого цилиндра отсекает от исходного конуса усечённый конус объёмом $91$. Найдите объём исходного конуса.
Ответ:
Решение:
Середины всех высот некоторого тетраэдра лежат на его вписанной сфере. Верно ли, что тетраэдр правильный?
Ответ:
Решение:
На боковых ребрах $TA$, $TB$, $TC$ правильной треугольной пирамиды $TABC$ соответственно выбраны точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ так, что $\frac{TA}{TA_1}=\frac{TB}{TB_1}=\frac{TC}{TC_1}=3$. Точка $O$ — центр сферы, описанной около пирамиды $TABC_1$. Докажите, что прямая $TO$ перпендикулярна плоскости $A_1B_1C$. Найдите радиус этой сферы и объем пирамиды $TA_1B_1C$, если сторона основания $AB=1$, боковое ребро $TA=5/4$.
Ответ:
Решение:
Боковое ребро правильной треугольной пирамиды $SABC$ имеет длину $11/5$ и составляет с плоскостью основания $ABC$ угол, равный $\operatorname{arctg}\left(5\sqrt2/4\right)$. Цилиндр расположен так, что окружность одного из его оснований проходит через середину ребра $AC$ и не пересекает грань $SAB$. Ортогональные проекции цилиндра на плоскости $SAB$ и $SBC$ — прямоугольники с общей вершиной в точке $S$. Найти объем цилиндра.
Ответ:
Решение:
Сфера, касающаяся нижнего основания цилиндра, имеет единственную общую точку с окружностью его верхнего основания и делит ось цилиндра в отношении $1:6:2$, считая от центра одного из оснований. Найти объем цилиндра, если известно, что сфера касается двух его образующих, находящихся на расстоянии $8$ друг от друга.
Ответ:
Решение: