На одной грани игрального кубика нарисована одна точка, на другой грани — две, на третьей — три, и т. д. Четыре одинаковых игральных кубика сложены так, как показано на рисунке. Сколько в общей сложности точек находится на 6 гранях, которыми касаются кубики?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Петя на ребре $AB$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметил точку $X$, делящую ребро $AB$ в отношении $1:2$, считая от вершины $A$. Приведите пример, как Петя может отметить на рёбрах $CC_1$ и $A_1D_1$ соответственно точки $Y$ и $Z$, чтобы треугольник $XYZ$ был равносторонним. Пример обоснуйте.
Ответ:
Решение:
Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Точка $P$ — середина ребра $AA_1$, точка $Q$ — середина ребра $CD$, точка $R$ — середина ребра $B_1C_1$. Докажите, что $\angle PB_1Q\lt \angle PRQ$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ площадь треугольника $BCC_1$ равна 1, треугольника $ACC_1$ — 34.
1. Пусть $S$ — площадь треугольника $CDC_1$. Найдите $S^2$.
2. Оказалось, что площадь треугольника $ABC_1$ равна 46. Чему равна площадь треугольника $ABC$?
1. Пусть $S$ — площадь треугольника $CDC_1$. Найдите $S^2$.
2. Оказалось, что площадь треугольника $ABC_1$ равна 46. Чему равна площадь треугольника $ABC$?
Ответ:
Решение:
Боковые грани пирамиды — четыре равных равнобедренных треугольника. На этих гранях проведены отрезки, параллельные основанию, как показано на чертеже. Длины путей, отмеченные на чертежах красным, соответственно равны $a$, $b$ и $c$.
Выберите верное утверждение:
a) $c\gt b=a$,
b) $b=c\gt a$,
c) $a=b=c$,
d) $a\lt b\lt c$.
Выберите верное утверждение:
a) $c\gt b=a$,
b) $b=c\gt a$,
c) $a=b=c$,
d) $a\lt b\lt c$.
Ответ:
Решение:
В треугольной пирамиде $SABC$ боковое ребро $SA$ перпендикулярно основанию $ABC$. Известно, что биссектрисы плоских углов $BAC$ и $BSC$ пересекаются. Докажите, что углы $ABC$ и $ACB$ равны.
Ответ:
Решение:
Существует ли тетраэдр $ABCD$, в котором $AB=AC=AD=BC$, а суммы плоских углов при каждой из вершин $B$ и $C$ равны по $150^\circ$?
Ответ:
Решение:
Каждая боковая грань пирамиды является прямоугольным треугольником, в котором прямой угол примыкает к основанию пирамиды. В пирамиде проведена высота. Может ли она лежать внутри пирамиды?
Ответ:
Решение:
Дана треугольная пирамида $ABCD$ с плоскими прямыми углами при вершине $D$, в которой $CD=AD+DB$. Докажите, что сумма плоских углов при вершине $C$ равна $90^\circ$.
Ответ:
Решение:
Про тетраэдр $ABCD$ известно, что $AB\cdot CD=AC\cdot BD=AD\cdot BC$. Пусть $I_A$, $I_B$, $I_C$, $I_D$ — центры окружностей, вписанных в треугольники $BCD$, $CDA$, $DAB$ и $ABC$ соответственно. Докажите, что отрезки $AI_A$, $BI_B$, $CI_C$, $DI_D$ пересекаются в одной точке.
Ответ:
Решение:
Все вершины правильного тетраэдра $ABCD$ находятся по одну сторону от плоскости $\alpha$. Оказалось, что проекции вершин тетраэдра на плоскость $\alpha$ являются вершинами некоторого квадрата. Найдите значение величины $AB^2$, если известно, что расстояния от точек $A$ и $B$ до плоскости $\alpha$ равны 17 и 21 соответственно.
Ответ:
Решение:
Дан тетраэдр $ABCD$, все грани которого являются подобными прямоугольными треугольниками с острыми углами при вершинах $A$ и $B$. Ребро $AB$ равно 1. Найдите длину наименьшего ребра тетраэдра.
Ответ:
Решение:
В треугольной пирамиде $ABCD$ на её гранях $BCD$ и $ACD$ нашлись соответственно точки $A'$ и $B'$ такие, что $\angle AB'C=\angle AB'D=\angle BA'C=\angle BA'D=120^\circ$. Известно, что прямые $AA'$ и $BB'$ пересекаются. Докажите, что точки $A'$ и $B'$ равноудалены от прямой $CD$.
Ответ:
Решение:
Дан тетраэдр $ABCD$. Известно, что \[AD=BC=10,\quad AC=BD=11,\quad AB=9\quad\text{и}\quad CD=13.\] Борис выбирает точку $X$ внутри тетраэдра и считает сумму \[AX+BX+CX+DX.\] Какое наименьшее значение он может получить?
Ответ:
Решение:
В тетраэдре $ABCD$ проведены высоты $BE$ и $CF$. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна ребру $AD$ и проходит через его середину. Известно, что точки $A$, $C$, $D$ и $E$ лежат на одной окружности, и точки $A$, $B$, $D$ и $F$ также лежат на одной окружности. Докажите, что расстояния от точек $E$ и $F$ до плоскости $\alpha$ равны.
Ответ:
Решение:
В тетраэдре $SABC$ длины всех шести рёбер различны. Точка $A'$ в плоскости $SBC$ симметрична точке $S$ относительно серединного перпендикуляра к отрезку $BC$. Точка $B'$ в плоскости $SAC$ и точка $C'$ в плоскости $SAB$ определяются аналогично. Докажите, что плоскости $AB'C'$, $A'BC'$, $A'B'C$ и $ABC$ имеют общую точку.
Ответ:
Решение:
Плоскость $\alpha$ пересекает рёбра $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ тетраэдра $ABCD$ в точках $X$, $Y$, $Z$ и $T$ соответственно. Оказалось, что точки $Y$ и $T$ лежат на окружности $\omega$, построенной на отрезке $XZ$ как на диаметре. Точка $P$ отмечена в плоскости $\alpha$ так, что прямые $PY$ и $PT$ касаются окружности $\omega$. Докажите, что середины рёбер $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ и точка $P$ лежат в одной плоскости.
Ответ:
Решение:
В сосуде, имеющем форму правильной треугольной призмы, находилась вода, причём её уровень составлял 30 сантиметров. Всю эту воду перелили в пустой сосуд, имеющий форму правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой вдвое меньше стороны основания треугольной призмы.
Чему равен уровень воды теперь? Ответ выразите в сантиметрах.
Чему равен уровень воды теперь? Ответ выразите в сантиметрах.
Ответ:
Решение:
Три диагонали правильной $n$-угольной призмы пересекаются в одной внутренней точке $O$. Докажите, что точка $O$ — центр призмы. (Диагональ призмы — это отрезок, соединяющий две её вершины, не находящиеся в одной грани.)
Ответ:
Решение: