Найдите наименьшее натуральное число, обладающее следующим свойством: остаток от его деления на 20 на единицу меньше остатка от его деления на 21, а остаток от его деления на 22 равен 2.
Ответ:
Решение:
В группу из 17 детей присланы подарки двух видов: каждый подарок первого вида содержит 4 пряника и 9 конфет, а второго — 3 пряника и 11 конфет. Объединив эти подарки, все пряники разделили между детьми поровну. Могло ли случиться при этом, что конфеты разделить поровну не удалось?
Ответ:
Решение:
Целые числа $2a^2$ и $3a$ имеют одинаковые остатки при делении на 18. Какие ненулевые остатки может иметь число $a\gt 0$ при делении на 18?
Ответ:
Решение:
Из суммы квадратов пяти последовательных натуральных чисел вычли число $10$ и получили куб натурального числа $N$, большего $6$. Найдите наименьшее возможное значение $N$.
Ответ:
Решение:
Олег выписал в строку 110 последовательных натуральных чисел, больших $50\,000$. Оказалось, что 12-е число делится на 12, 75-е — на 75, а 110-е — на 110. Какое наименьшее число могло быть среди выписанных Олегом чисел?
Ответ:
Решение:
Найдите количество всех пар натуральных чисел $(x;y)$, при которых является верным равенство \[x^2+x+5y=1\,000\,002.\]
Ответ:
Решение:
Известно, что число $3x-11y$ делится без остатка на число 130. Сколько различных остатков может давать число $4x+20y$ при делении на число 130, если известно, что $x$ и $y$ — целые?
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее натуральное $x$, при котором из того, что $11m+3n$ делится на 23, следует, что $17m+xn$ также делится на 23 ($m$ и $n$ — натуральные).
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее натуральное $x$, при котором из того, что $15m+4n$ делится на 31, следует, что $17m+xn$ также делится на 31 ($m$ и $n$ — натуральные).
Ответ:
Решение:
Найдите количество натуральных чисел $k$, не превосходящих $242400$ и таких, что $k^2+2k$ делится нацело на $303$.
Ответ:
Решение:
Найдите количество натуральных чисел $k$, не превосходящих $291000$ и таких, что $k^2-1$ делится нацело на $291$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найти наименьшее натуральное число, имеющее при делении на $3$, $5$ и $6$ в остатке $1$, а при делении на $11$ — остаток $5$.
Ответ:
Решение:
Назовём набор из $k$ последовательных натуральных чисел хорошим, если можно у каждого из этих чисел выбрать по простому делителю так, чтобы у всяких двух разных чисел были выбраны разные делители. В противном случае назовём набор плохим. При всяком ли натуральном $k$ количество плохих наборов из $k$ последовательных натуральных чисел конечно?
Ответ:
Решение:
Радикалом натурального числа $N$ (обозначается $\operatorname{rad}(N)$) называется произведение всех простых делителей числа $N$, взятых по одному разу. Например, $\operatorname{rad}(120)=2\cdot 3\cdot 5=30$. Существует ли такая тройка попарно взаимно простых натуральных чисел $A$, $B$, $C$, что $A+B=C$ и $C\gt 1000\cdot\operatorname{rad}(ABC)$?
Ответ:
Решение:
Для натурального числа $N$ выписали все его натуральные делители $p_l$ в порядке возрастания: $1=p_1\lt p_2\lt \ldots\lt p_k=N$. Обозначим количество натуральных делителей числа $N$ через $\sigma(N)$. Найдите все возможные значения $\sigma(N^3)$, если известно, что \[ p_3\cdot p_4\cdot p_{1876}\cdot p_{1877}\geqslant N^2. \]
Ответ:
Решение: