Натуральные числа $n\gt 20$ и $k\gt 1$ таковы, что $n$ делится на $k^2$. Докажите, что найдутся натуральные $a$, $b$ и $c$ такие, что $n=ab+bc+ca$.
Ответ:
Решение:
Натуральные числа $a$, $x$ и $y$, большие 100, таковы, что $y^2-1=a^2(x^2-1)$. Какое наименьшее значение может принимать дробь $a/x$?
Ответ:
Решение:
Найдите все натуральные числа, которые можно представить в виде \[\frac{xy+yz+zx}{x+y+z},\] где $x$, $y$ и $z$ — три различных натуральных числа.
Ответ:
Решение:
Существуют ли такие натуральные числа $m$, $n$, $k$, что все три числа \[m^2+n+k,\quad n^2+k+m,\quad k^2+m+n\] являются квадратами натуральных чисел?
Ответ:
Решение:
Дано нечётное простое число $p$. Найдите все пары натуральных чисел $a$ и $b$ таких, что $\dfrac{a}{p}+\dfrac{p}{b}=2$.
Ответ:
Решение:
Объём аккумулятора рации — натуральное число условных единиц. На каждое включение рации тратится натуральное число у. е., и каждые 10 минут работы рации отнимают некоторое натуральное число у. е. При выключении рации аккумулятор не расходуется. Известно, что если сеансы связи длятся по 10 минут, то аккумулятор сядет во время 40-го сеанса, а если по 20 минут — то во время 26-го. Найдите наименьший возможный заряд аккумулятора. «Аккумулятор сел во время сеанса» означает, что сеанс связи начался, шёл некоторое время, но аккумулятор сел до того момента, как сеанс успел закончиться.
Ответ:
Решение:
Целые числа $a$, $b$, $c$ таковы, что $a^2+b^2c^2+c^2=2c(ab+1)$ и $a+b+c=800$. Чему может быть равно $b$? Укажите все возможные варианты ответа.
Ответ:
Решение:
Натуральные числа $a$, $b$ таковы, что число $\dfrac{7a+9b}{a+3b}$ — тоже натуральное. Чему может быть равно отношение $\dfrac{a}{b}$? Укажите все подходящие варианты.
Ответ:
Решение:
Натуральное число $n$ таково, что значение выражения $n^2+492$ является точным квадратом.
1. Укажите любое возможное значение $n$.
2. Чему может быть равно $n$? Укажите все возможные варианты.
1. Укажите любое возможное значение $n$.
2. Чему может быть равно $n$? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение:
Целые числа $n$ и $m$ удовлетворяют неравенствам $3n-m\lt 5$, $n+m\gt 26$, $3m-2n\lt 46$. Чему может равняться $2n+m$? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение:
Антон выписал на доску три натуральных числа $a$, $b$ и $c$. А Ира нарисовала на доске три прямоугольника $a\times b$, $a\times c$ и $b\times c$. Оказалось, что разность площадей какой-то пары прямоугольников равна 1, а разность площадей другой пары прямоугольников равна 49. Чему может быть равно $a+b+c$? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение:
На клетчатой бумаге нарисовали большой квадрат. Его разрезали на несколько одинаковых средних квадратов. Один из средних квадратов разрезали на несколько одинаковых маленьких квадратов. Стороны всех квадратов проходят по линиям сетки. Найдите длины сторон большого, среднего и маленького квадратов, если сумма их площадей равна 154.
Ответ:
Решение:
Саша, Андрей и Оля выбрали по натуральному числу. Каждый из них умножил числа, выбранные двумя другими ребятами, на свое число и вычел меньшее произведение из большего. У Саши получилось 1, а у Андрея 121. Сколько могло получиться у Оли? Приведите все возможные варианты и докажите, что других нет.
Ответ:
Решение:
Каждый член последовательности натуральных чисел, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих, а восьмой член равен 1313.
1. Сколько существует таких последовательностей?
2. Чему равен второй член последовательности, если первый равен 13?
1. Сколько существует таких последовательностей?
2. Чему равен второй член последовательности, если первый равен 13?
Ответ:
Решение:
В примере с дробями некоторые двузначные натуральные числа заменили буквами $A$ и $B$ \[\frac{A-5}{A}+\frac{4}{B}=1.\]
1. Какое наименьшее значение может принимать $A$?
2. Какое наибольшее значение может принимать $B$?
1. Какое наименьшее значение может принимать $A$?
2. Какое наибольшее значение может принимать $B$?
Ответ:
Решение:
Лёша разрезал куб $n\times n\times n$ на 153 меньших кубика. Причём у всех кубиков, кроме одного, длина ребра равна 1. Найдите $n$.
Ответ:
Решение:
Сколько существует пар натуральных чисел $a$ и $b$ таких, что $a\geqslant b$ и выполнено \[ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{6}\,? \]
Ответ:
Решение:
У Буратино есть много монет по 5 и по 6 сольдо, каждого вида более 10 монет. Придя в магазин и купив книгу за $N$ сольдо, он понял, что не сможет за неё рассчитаться без сдачи. Какое наибольшее значение может принимать натуральное $N$, если оно не больше 50?
Ответ:
Решение:
Записаны четыре различных натуральных числа. Оказалось, что сумма чисел, им обратных, равна 1. Может ли среди записанных чисел отсутствовать число 2?
Ответ:
Решение:
Сколько существует натуральных чисел $n$, для которых $4^n-15$ является квадратом целого числа?
Ответ:
Решение: