Найдите все пары натуральных чисел $(m,n)$, для которых выполняется равенство\[n(n-1)(n-2)(n-3)=m(m-1).\]
Ответ:
Решение:
На графике приведенного квадратного трехчлена с целыми коэффициентами отмечены две точки с целочисленными координатами. Найдите расстояние между этими точками, если известно, что оно выражается целым числом, а дискриминант квадратного трехчлена равен $4$.
Ответ:
Решение:
Представить число 2020 в виде суммы кубов пяти целых чисел. Доказать, что любое целое число можно представить в виде суммы кубов пяти целых чисел.
Ответ:
Решение:
Для всех целых $k\lt 0$ найти целые решения $x$ и $y$ системы уравнений \[ \begin{cases} x^2+xy^2-ky^2=0,\\ x^2-xy+ky^2=0. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Найдите все тройки целых чисел $(a;b;c)$ такие, что:
- $a\lt b$,
- число $b-a$ не кратно 3,
- число $(a-c)(b-c)$ является квадратом некоторого простого числа,
- выполняется равенство $a^2+b=710$.
Ответ:
Решение:
Найти все пары целых чисел $(x;y)$, удовлетворяющие системе уравнений \[\begin{cases} 3x^2-8xy-y^2=18,\\ x^2+y^2-2x+8y+16=0.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найти все пары целых чисел $x$, $y$, для которых верны неравенства \[ 3y-x\lt 5,\quad x+y\gt 26,\quad 3x-2y\lt 46. \]
Ответ:
Решение:
Найти все пары целых чисел $x$, $y$, при которых является верным равенство \[ x^3-6x^2-xy+13x+3y+7=0. \]
Ответ:
Решение:
Найдите все натуральные решения уравнения \[ 21\cdot a^2+12ab=2025+9\cdot b^2. \] Если такая пара $(a;b)$ единственная, то в ответе укажите сумму $a+b$. Если таких пар $(a;b)$ несколько, то в ответе укажите сумму всех найденных значений $a$, $b$. Если решений нет, укажите 0.
Ответ:
Решение:
Существуют ли пять попарно различных целых чисел таких, что сумма любых четырех из них была бы квадратом натурального числа?
Ответ:
Решение:
Найдите все натуральные числа $n$, для которых число $2^{10}+2^{13}+2^{14}+3\cdot2^n$ является квадратом натурального числа.
Ответ:
Решение:
Найдите все пары натуральных чисел $a$ и $b$, для которых из четырех утверждений
- $a^2+4a+3$ делится на $b$;
- $a^2+ab-6b^2-2a-16b-8=0$;
- $a+2b+1$ делится на $4$;
- $a+6b+1$ — простое число
Ответ:
Решение:
Найдите все пары натуральных чисел $a$ и $b$, для которых из четырех утверждений
1. $a^2+4a+3$ делится на $b$;
2. $a^2+ab-6b^2-2a-16b-8=0$;
3. $a+2b+1$ делится на 4;
4. $a+6b+1$ — простое число
три истинны, а одно ложно.
1. $a^2+4a+3$ делится на $b$;
2. $a^2+ab-6b^2-2a-16b-8=0$;
3. $a+2b+1$ делится на 4;
4. $a+6b+1$ — простое число
три истинны, а одно ложно.
Ответ:
Решение:
Найдите все целые решения системы уравнений \[ \begin{cases} x+y+z=3,\\ x^3+y^3+z^3=3. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Можно ли разбить числа $1, 2, 3, \ldots, 99, 100$ на три группы так, чтобы сумма чисел в одной группе делилась на 102, сумма чисел в другой группе делилась на 203, а сумма чисел в третьей группе делилась на 304?
Ответ:
Решение:
Найдите все пары натуральных чисел $x$, $y$, удовлетворяющие уравнению \[6x^2y+2x^2+3xy+x-9y=2016.\]
Ответ:
Решение:
Вася возвёл какое-то целое число в куб и умножил результат на два. Петя возвёл другое целое число в квадрат и умножил результат на три. Оказалось, что ответы совпали. Какое число взял каждый из ребят, если эти числа отличаются не более чем на 100 (перечислите все возможные варианты)?
Ответ:
Решение:
Какие из значений 8, 43, 2010 может принимать $N$, если известно, что уравнение \[\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{N}\] имеет единственное решение в натуральных числах $x$ и $y$?
Ответ:
Решение: