Найдите все пары натуральных чисел $a$ и $b$, для которых из четырех утверждений
1. $a^2+4a+3$ делится на $b$;
2. $a^2+ab-6b^2-2a-16b-8=0$;
3. $a+2b+1$ делится на 4;
4. $a+6b+1$ — простое число
три истинны, а одно ложно.
1. $a^2+4a+3$ делится на $b$;
2. $a^2+ab-6b^2-2a-16b-8=0$;
3. $a+2b+1$ делится на 4;
4. $a+6b+1$ — простое число
три истинны, а одно ложно.
Ответ:
Решение:
Найдите все пары натуральных чисел $a$ и $b$, для которых из четырех утверждений
- $a^2+4a+3$ делится на $b$;
- $a^2+ab-6b^2-2a-16b-8=0$;
- $a+2b+1$ делится на $4$;
- $a+6b+1$ — простое число
Ответ:
Решение:
Найдите все натуральные числа $n$, для которых число $2^{10}+2^{13}+2^{14}+3\cdot2^n$ является квадратом натурального числа.
Ответ:
Решение:
Существуют ли пять попарно различных целых чисел таких, что сумма любых четырех из них была бы квадратом натурального числа?
Ответ:
Решение:
Найдите все натуральные решения уравнения \[ 21\cdot a^2+12ab=2025+9\cdot b^2. \] Если такая пара $(a;b)$ единственная, то в ответе укажите сумму $a+b$. Если таких пар $(a;b)$ несколько, то в ответе укажите сумму всех найденных значений $a$, $b$. Если решений нет, укажите 0.
Ответ:
Решение:
Найти все пары целых чисел $x$, $y$, при которых является верным равенство \[ x^3-6x^2-xy+13x+3y+7=0. \]
Ответ:
Решение:
Найти все пары целых чисел $x$, $y$, для которых верны неравенства \[ 3y-x\lt 5,\quad x+y\gt 26,\quad 3x-2y\lt 46. \]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найти все пары целых чисел $(x;y)$, удовлетворяющие системе уравнений \[\begin{cases} 3x^2-8xy-y^2=18,\\ x^2+y^2-2x+8y+16=0.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Найдите все тройки целых чисел $(a;b;c)$ такие, что:
- $a\lt b$,
- число $b-a$ не кратно 3,
- число $(a-c)(b-c)$ является квадратом некоторого простого числа,
- выполняется равенство $a^2+b=710$.
Ответ:
Решение:
Для всех целых $k\lt 0$ найти целые решения $x$ и $y$ системы уравнений \[ \begin{cases} x^2+xy^2-ky^2=0,\\ x^2-xy+ky^2=0. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Представить число 2020 в виде суммы кубов пяти целых чисел. Доказать, что любое целое число можно представить в виде суммы кубов пяти целых чисел.
Ответ:
Решение:
На графике приведенного квадратного трехчлена с целыми коэффициентами отмечены две точки с целочисленными координатами. Найдите расстояние между этими точками, если известно, что оно выражается целым числом, а дискриминант квадратного трехчлена равен $4$.
Ответ:
Решение:
Найдите все пары натуральных чисел $(m,n)$, для которых выполняется равенство\[n(n-1)(n-2)(n-3)=m(m-1).\]
Ответ:
Решение:
Прямоугольная таблица состоит из 5863 одинаковых клеток. Петя и Вася пронумеровали клетки натуральными числами $1,2,\ldots,5863$ подряд. Петя нумеровал клетки по строкам слева направо (сначала первую строку, затем вторую и т. д.), а Вася — по столбцам сверху вниз (сначала первый столбец, затем второй и т. д.). Оказалось, что ровно в 7 клетках их номера совпали. Чему равна сумма числа строк и числа столбцов в этой таблице?
Ответ:
Решение:
Найдите все решения системы в натуральных числах:\[\begin{cases}a^3+b=c(a^2+b^2),\\ a+b^3=d(a^2+b^2).\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Известно, что $m$, $n$, $k$ — различные натуральные числа, большие 1, число $\log_mn$ рационально, и, кроме того, \[ k^{\sqrt{\log_mn}}=m^{\sqrt{\log_nk}}. \] Найдите минимальное из возможных значений суммы $k+5m+n$.
Ответ:
Решение:
Квадрат со стороной 12 требуется разрезать (полностью) на четыре квадрата с целочисленной стороной $a$, три квадрата с целочисленной стороной $b$ и десять прямоугольников со сторонами $a$ и $b$. Найдите все значения $a$ и $b$, при которых это возможно.
Ответ:
Решение:
Известно, что при некоторых натуральных $a$, $b$ число $N=\dfrac{a^2+b^2}{ab-1}$ — тоже натуральное. Найдите все возможные значения $N$.
Ответ:
Решение: