Найти наименьшую длину отрезка числовой оси, содержащего три различных решения уравнения \[ \cos 2x-\sin 2x-\operatorname{ctg}2x\cdot\sin x+\sin x=0. \]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Решить уравнение \[\dfrac{\sin x}{\cos 2x\cos 3x}+\dfrac{\sin x}{\cos 3x\cos 4x}=\sin 4x-\mathrm{tg}\,2x.\]
Ответ:
Решение:
Решить уравнение \[\dfrac{\sin\frac{x}{2}\sin\frac{3x}{2}}{\cos x\cos 2x}+\dfrac{\sin\frac{x}{2}\sin\frac{5x}{2}}{\cos 2x\cos 3x}=\dfrac{2\sin x\sin 2x}{\cos x\cos 3x}-\dfrac{1}{4\cos 3x}.\]
Ответ:
Решение:
Решить уравнение \[\dfrac{\operatorname{tg}x}{2}+\dfrac{1}{\sin x}=\dfrac{1}{\sin3x}-\dfrac{\operatorname{ctg}x}{2}.\]
Ответ:
Решение:
Сколько различных решений на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$ имеет уравнение \[6\sqrt{2}\cos x\operatorname{ctg}x-2\sqrt{2}\operatorname{ctg}x+3\cos x-1=0\,?\] Найдите эти решения.
Ответ:
Решение:
Найдите наименьший корень уравнения \[ \operatorname{ctg}6x-\operatorname{tg}5x=\dfrac{1}{\cos 5x}, \] принадлежащий отрезку $\left[\dfrac{8\pi}{17};\dfrac{40\pi}{17}\right]$.
Ответ:
Решение:
Найдите все решения уравнения \[ \cos^3(\pi x)+\cos^3(2\pi x)-\cos^3(4\pi x)=\left(\cos(\pi x)+\cos(2\pi x)-\cos(4\pi x)\right)^3, \] принадлежащие отрезку $[0{,}3;\,1{,}6]$.
Ответ:
Решение:
Определите, сколько корней на промежутке $[-\pi;\pi]$ имеет уравнение \[\frac{2\cos4x+1}{2\cos x-\sqrt{3}}=\frac{2\sin4x-\sqrt{3}}{2\sin x-1}\,,\] и найдите эти корни.
Ответ:
Решение:
Решите уравнение \[ 36\cos(x+\cos x)\cos(x-\cos x)+9=\pi^2 \] и найдите сумму его корней, принадлежащих отрезку $\left[\dfrac{\pi}{3};\dfrac{7\pi}{4}\right]$.
Ответ:
Решение:
Найдите сумму всех корней уравнения \[ 2\cos3x+8|\sin x|-7=0, \] принадлежащих отрезку $\left[-\dfrac{2\pi}{3};\dfrac{3\pi}{4}\right]$.
Ответ:
Решение:
Найдите сумму всех различных корней уравнения \[ \sin x+\sin2x+\sin3x+\sin4x+\sin5x=0, \] принадлежащих интервалу $(0;\pi)$.
Ответ:
Решение:
Функция $y=f(t)$ такова, что сумма корней уравнения $f(\cos x)=0$ на отрезке $\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]$ равна $17\pi$, а сумма корней уравнения $f(\sin x)=0$ на отрезке $\left[\pi;\dfrac{3\pi}{2}\right]$ равна $29\pi$. Какова сумма корней второго уравнения на отрезке $\left[\dfrac{3\pi}{2};2\pi\right]$?
Ответ:
Решение:
Найти решения $(x;y)$ системы \[ \begin{cases} \sin(2x+y)=-1,\\ \cos(x-y)=1 \end{cases} \] в прямоугольнике $-\pi\leqslant x\leqslant\pi/2$, $-\pi/2\leqslant y\leqslant\pi/2$.
Ответ:
Решение:
Решите систему \[ \begin{cases} \operatorname{tg}x+\operatorname{tg}\dfrac y2=\dfrac{4}{\sqrt3},\\ \operatorname{ctg}x+\operatorname{ctg}\dfrac y2=\dfrac{4}{\sqrt3}. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Решить систему уравнений \[ \begin{cases} 6\sin x\cos y+2\cos x\sin y=-3,\\ 5\sin x\cos y-3\cos x\sin y=1. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Какое наибольшее значение может принимать модуль синуса суммы углов, удовлетворяющих системе уравнений: \[ \begin{cases} \mathrm{tg}\,x=\dfrac{20}{9}\cos y,\\ \mathrm{tg}\,y=\dfrac{20}{9}\cos z,\\ \mathrm{tg}\,z=\dfrac{20}{9}\cos x\ ? \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Числа $x$ и $y$ таковы, что выполняются равенства \[ \sin y+\cos x=\sin 3x\quad\text{и}\quad \sin 2y-\sin 2x=\cos 4x-\cos 2x. \] Какое наименьшее значение может принимать сумма $\cos y+\sin x$?
Ответ:
Решение:
Каждое из четырех чисел $\frac12$; $\frac12$; $\frac32$; $2$ является результатом одной из четырех арифметических операций $\sin x+\sin y$, $\sin x-\sin y$, $\sin x\cdot\sin y$, $\sin x:\sin y$ над числами $\sin x$, $\sin y$ для некоторых $x$ и $y$. Найти все допустимые для этого пары $(x;y)$.
Ответ:
Решение:
При каких значениях $a$ точка с координатами $(\sin a;\sin 3a)$ симметрична точке с координатами $(\cos a;\cos 3a)$ относительно прямой с уравнением $x+y=0$?
Ответ:
Решение: