В пространстве даны скрещивающиеся перпендикулярные прямые $AB$ и $CD$. Точки $E$ и $F$ — середины отрезков $AC$ и $BD$ соответственно. Докажите, что $\dfrac{AD+BC}{2}\gt BD-EF$.
Ответ:
Решение:
На ребре $AA'$ куба $ABCDA'B'C'D'$ с ребром длины 2 отмечена точка $K$. В пространстве отмечена такая точка $T$, что $TB=\sqrt{11}$ и $TC=\sqrt{15}$. Найдите длину высоты тетраэдра $TBCK$, опущенной из вершины $C$.
Ответ:
Решение:
Сторона основания $ABC$ правильной треугольной пирамиды $ABCD$ равна 6, двугранный угол между боковыми гранями пирамиды равен $\arccos\dfrac{7}{32}$. Точки $A_1$ и $B_1$ — середины рёбер $AD$ и $BD$ соответственно, $BC_1$ — высота в треугольнике $DBC$. Найти:
- угол между прямыми $AB$ и $B_1C_1$;
- площадь треугольника $A_1B_1C_1$;
- расстояние от точки $B$ до плоскости $A_1B_1C_1$;
- радиус вписанного в пирамиду $A_1B_1C_1D$ шара.
Ответ:
Решение:
Две противоположные боковые грани четырехугольной пирамиды $SABCD$ перпендикулярны основанию, высота пирамиды равна $\sqrt5$. В основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция $ABCD$ ($AD=BC$), описанная около окружности и такая, что $AB=6$, $\angle BAD=\frac{\pi}{3}$. Найти расстояние от точки $D$ до плоскости $SAB$.
Внутри пирамиды расположен конус так, что окружность его основания вписана в треугольник $SCD$, а вершина принадлежит грани $SAB$. Найти объем конуса.
Внутри пирамиды расположен конус так, что окружность его основания вписана в треугольник $SCD$, а вершина принадлежит грани $SAB$. Найти объем конуса.
Ответ:
Решение:
В треугольной пирамиде $ABCD$ ребра $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны, $AB=BD=AD=a$, середина ребра $AC$ равноудалена от плоскостей $ABD$ и $BCD$, угол между ребром $AC$ и гранью $CBD$ равен $\arcsin\frac{1}{\sqrt3}$. Найти длину ребра $CD$, угол $CAD$ и угол между ребром $BD$ и гранью $ACD$.
Ответ:
Решение:
Боковые ребра $TA$, $TB$, и $TC$ тетраэдра $TABC$ попарно перпендикулярны, ребро $TA$ наклонено к плоскости основания $ABC$ под углом $30^\circ$. Пусть $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$, косинус угла $AHB$ равен $-1/3$. Найдите угол между ребром $TC$ и плоскостью $ABC$.
Ответ:
Решение:
Основанием пирамиды $TABCD$ является ромб $ABCD$. Высота пирамиды $TK$ равна $5$, точка $K$ лежит на прямой, содержащей диагональ основания $AC$, причем $KC=KA+AC$. Боковое ребро $TC$ равно $6\sqrt5$, а боковые грани наклонены к плоскости основания под углами $30^\circ$ и $60^\circ$. Найдите длину стороны основания и угол между стороной основания $AB$ и боковой гранью $TBC$.
Ответ:
Решение:
Основанием пирамиды $TABCD$ является ромб $ABCD$. Высота пирамиды $TK$ равна $1$, точка $K$ лежит на прямой, содержащей диагональ основания $AC$, причем $KC=KA+AC$. Боковое ребро $TC$ равно $2\sqrt2$, а боковые грани наклонены к плоскости основания под углами $30^\circ$ и $60^\circ$. Найдите длину стороны основания и угол между боковым ребром $TA$ и плоскостью боковой грани $TCD$.
Ответ:
Решение:
В основании пирамиды $SABC$ лежит треугольник $ABC$ со сторонами $AB=BC=3\sqrt2$ и $AC=2\sqrt6$. Высота пирамиды равна $\sqrt6$ и видна из вершин $A$ и $C$ под одним и тем же углом, равным $\arcsin\frac{1}{\sqrt3}$. Под каким углом она видна из вершины $B$?
Ответ:
Решение:
Боковые ребра $TA$, $TB$ и $TC$ тетраэдра $TABC$ попарно перпендикулярны, $TH$ — высота тетраэдра, $\angle TAH=30^\circ$, $\angle TBH=45^\circ$, $BC=\sqrt6$. Точка $K$, лежащая в плоскости основания $ABC$, равноудалена от боковых граней тетраэдра $TABC$. Найдите $HK$.
Ответ:
Решение:
Две смежные боковые грани пирамиды, в основании которой лежит квадрат, перпендикулярны плоскости основания. Двугранный угол между двумя другими боковыми гранями равен $\frac{2\pi}{3}$. Найдите отношение высоты пирамиды к стороне основания.
Ответ:
Решение:
Можно ли данный двугранный угол величиной $90^\circ$ пересечь плоскостью так, чтобы в полученном сечении образовался угол величиной $110^\circ$?
Ответ:
Решение:
Точка $O$ — начало трех отрезков $OA$, $OB$ и $OC$ лежащих в плоскости $P$ и имеющих длины $1$, $2$ и $3$ соответственно. На прямой $L$, проходящей через точку $O$ и перпендикулярной плоскости $P$, расположена точка $D$ так, что сумма углов, образуемых прямыми $DA$, $DB$ и $DC$ с прямой $L$, равна $180^\circ$. Найдите длину отрезка $OD$.
Ответ:
Решение:
Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с рёбрами $AD=5$, $AB=16$, $AA_1=16$. Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $A_1B_1$ и $C_1D_1$. Точки $E$ и $F$ выбраны на рёбрах $CC_1$ и $DD_1$ так, что $C_1E=3$, $D_1F=11$. Какую наименьшую длину может иметь ломаная $APQ$, где точка $P$ лежит на прямой $MN$, а точка $Q$ лежит на прямой $EF$? В ответ запишите квадрат длины ломаной.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите синус угла между плоскостью $AA_1C$ и прямой $A_1B$, если $AA_1=9$, $AB=12$ и $BC=16$.
Ответ:
Решение: