Сколько существует таких прямоугольных треугольников $ABC$, что в них высота $CD$, проведённая из вершины прямого угла, связана с гипотенузой $AB$ соотношением $2DC+2=AB$, отрезки $CD$, $AD$ и $BD$ имеют целочисленные длины, а длина гипотенузы $AB$ лежит в промежутке $[10;1000]$?
Ответ:
Решение:
Рациональные числа $x$ и $y$ таковы, что их логарифмы $\log_{\sqrt{2}}x$ и $\log_{\sqrt[3]{3}}y$ также рациональны и их сумма равна 73. Найти $x$ и $y$.
Ответ:
Решение:
Найти шесть ненулевых целых чисел, произведение которых не меняется, если из каждого них вычесть двойку.
Ответ:
Решение:
Сколько существует различных троек натуральных чисел $a$, $b$, $c$, для которых $\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c=\dfrac12$? (Тройки, отличающиеся порядком следования элементов, считаются различными.)
Ответ:
Решение:
Доказать, что существует более $2024$ различных троек целых чисел $(x;y;z)$, для которых \[ x^{2022}+y^{2022}=z^{2023}. \]
Ответ:
Решение:
В центре стола находятся 600 фишек, и Петя готовится играть на нем в игру под названием «Забери больше фишек». Цель игры — убрать со стола как можно больше фишек, соблюдая правило: за один ход можно убрать со стола ровно 154 фишки (или не брать ни одной), а вернуть на стол только 105 (или не возвращать ни одной). Какое наибольшее число фишек может убрать со стола Петя, соблюдая правила? Своих фишек в карманах Пети нет.
Ответ:
Решение:
Найдите периметр выпуклого многоугольника, множество вершин которого в координатной записи совпадает с множеством целочисленных пар решений уравнения\[x^2+xy=x+2y+9.\]
Ответ:
Решение:
Найдите все натуральные $k$, при которых число $k^2-101k$ является точным квадратом, т. е. квадратом целого числа.
Ответ:
Решение:
Из бумаги вырезали два разных прямоугольника — но у каждого длины сторон выражаются натуральными числами, и у каждого периметр численно равен его площади. Оба прямоугольника положили на стол, один на другой, так, что некоторые стороны одного прямоугольника оказались параллельны некоторым сторонам другого — и какая-то часть столешницы оказалась накрыта всего одним слоем бумаги. Какая наименьшая возможная площадь этой части столешницы?
Ответ:
Решение:
Какие из значений 8, 43, 2010 может принимать $N$, если известно, что уравнение \[\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{N}\] имеет единственное решение в натуральных числах $x$ и $y$?
Ответ:
Решение:
Вася возвёл какое-то целое число в куб и умножил результат на два. Петя возвёл другое целое число в квадрат и умножил результат на три. Оказалось, что ответы совпали. Какое число взял каждый из ребят, если эти числа отличаются не более чем на 100 (перечислите все возможные варианты)?
Ответ:
Решение:
Найдите все пары натуральных чисел $x$, $y$, удовлетворяющие уравнению \[6x^2y+2x^2+3xy+x-9y=2016.\]
Ответ:
Решение:
Можно ли разбить числа $1, 2, 3, \ldots, 99, 100$ на три группы так, чтобы сумма чисел в одной группе делилась на 102, сумма чисел в другой группе делилась на 203, а сумма чисел в третьей группе делилась на 304?
Ответ:
Решение:
Найдите все целые решения системы уравнений \[ \begin{cases} x+y+z=3,\\ x^3+y^3+z^3=3. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Найдите все пары натуральных чисел $a$ и $b$, для которых из четырех утверждений
1. $a^2+4a+3$ делится на $b$;
2. $a^2+ab-6b^2-2a-16b-8=0$;
3. $a+2b+1$ делится на 4;
4. $a+6b+1$ — простое число
три истинны, а одно ложно.
1. $a^2+4a+3$ делится на $b$;
2. $a^2+ab-6b^2-2a-16b-8=0$;
3. $a+2b+1$ делится на 4;
4. $a+6b+1$ — простое число
три истинны, а одно ложно.
Ответ:
Решение:
Найдите все пары натуральных чисел $a$ и $b$, для которых из четырех утверждений
- $a^2+4a+3$ делится на $b$;
- $a^2+ab-6b^2-2a-16b-8=0$;
- $a+2b+1$ делится на $4$;
- $a+6b+1$ — простое число
Ответ:
Решение:
Найдите все натуральные числа $n$, для которых число $2^{10}+2^{13}+2^{14}+3\cdot2^n$ является квадратом натурального числа.
Ответ:
Решение:
Существуют ли пять попарно различных целых чисел таких, что сумма любых четырех из них была бы квадратом натурального числа?
Ответ:
Решение: