Каждый день кот Базилио и лиса Алиса обходят все 20 дворов столицы Страны Дураков, и в каждом дворе им либо дают, либо не дают один золотой с вероятностью $\frac{1}{2}$. Если к концу дня число выпрошенных золотых чётное, то лиса и кот делят их поровну. Если же оно нечётно, то они делят все монеты, кроме одной, поровну, а последнюю кот Базилио забирает себе как коммерческий директор предприятия. Найдите математическое ожидание числа монет, полученных котом за день.
Ответ:
Решение:
Магазин «Крокус и Кактус» объявил акцию: если покупатель берет три товара, то самый дешевый из них ему достается бесплатно. Покупатель взял десять товаров, все разной цены: за 100 рублей, за 200 рублей, за 300 рублей и так далее — самый дорогой товар стоил 1000 рублей.
а) Какова наименьшая сумма, которую покупатель заплатит, если удачно разложит свои покупки перед кассиром?
б) Какова наибольшая сумма, которую покупатель заплатит, если неудачно разложит покупки?
в) Найдите математическое ожидание суммы, которую покупатель заплатит, если разложит покупки случайным образом.
а) Какова наименьшая сумма, которую покупатель заплатит, если удачно разложит свои покупки перед кассиром?
б) Какова наибольшая сумма, которую покупатель заплатит, если неудачно разложит покупки?
в) Найдите математическое ожидание суммы, которую покупатель заплатит, если разложит покупки случайным образом.
Ответ:
Решение:
Последовательность состоит из $k$ нулей и $m$ единиц, расположенных в случайном порядке. Разобьем последовательность на чередующиеся группы нулей и единиц (группа — участок, состоящий из всех одинаковых цифр, стоящих подряд). Общее число групп — случайная величина. Найдите ее математическое ожидание.
Например, последовательность 00011011100 состоит из пяти групп 000, 11, 0, 111 и 00.
Например, последовательность 00011011100 состоит из пяти групп 000, 11, 0, 111 и 00.
Ответ:
Решение:
На заводе имени матроса Железняка изготавливают прямоугольники длиной 2 м и шириной 1 м. Длину отмеряет рабочий Иванов, а ширину, независимо от Иванова, отмеряет рабочий Петров. Средняя ошибка у обоих нулевая, но Иванов допускает стандартную ошибку измерения (стандартное отклонение длины) 3 мм, а Петров допускает стандартную ошибку 2 мм.
а) Найдите математическое ожидание площади получившегося прямоугольника.
б) Найдите стандартное отклонение площади получившегося прямоугольника в квадратных сантиметрах.
а) Найдите математическое ожидание площади получившегося прямоугольника.
б) Найдите стандартное отклонение площади получившегося прямоугольника в квадратных сантиметрах.
Ответ:
Решение:
На знакомом нам заводе вырезают металлические диски диаметром 1 м. Известно, что диск диаметром ровно 1 м весит ровно 100 кг. При изготовлении возникает ошибка измерения, и поэтому стандартное отклонение радиуса составляет 10 мм. Инженер Сидоров считает, что стопка из 100 дисков в среднем будет весить 10000 кг. На сколько ошибается инженер Сидоров?
Ответ:
Решение:
В турнире участвуют 100 борцов, все разной силы. В любом поединке двух борцов всегда побеждает тот, кто сильнее. В первом туре борцы разбились на случайные пары и провели поединки. Для второго тура борцы ещё раз разбиваются на случайные пары соперников (может случиться, что какие-то пары повторятся). Приз получает тот, кто выиграет оба поединка. Найдите:
а) наименьшее возможное число призёров турнира;
б) математическое ожидание числа призеров турнира.
а) наименьшее возможное число призёров турнира;
б) математическое ожидание числа призеров турнира.
Ответ:
Решение:
На антарктической станции $n$ полярников, все разного возраста. С вероятностью $p$ между каждыми двумя полярниками завязываются дружеские отношения, независимо от других симпатий или антипатий. Когда зимовка заканчивается и наступает пора разъезжаться по домам, в каждой паре друзей старший даёт младшему дружеский совет. Найдите математическое ожидание числа тех, кто так и не получил ни одного дружеского совета.
Ответ:
Решение:
Имеется $n$ случайных векторов вида $(y_1, y_2, y_3)$, где ровно одна случайная координата равна 1, остальные равны 0. Их складывают. Получается случайный вектор $\vec{a}$ с координатами $(Y_1, Y_2, Y_3)$.
а) Найдите математическое ожидание случайной величины $\vec{a}^{\,2}$.
б) Докажите, что $|\vec{a}|\geqslant\frac{n}{\sqrt{3}}$.
а) Найдите математическое ожидание случайной величины $\vec{a}^{\,2}$.
б) Докажите, что $|\vec{a}|\geqslant\frac{n}{\sqrt{3}}$.
Ответ:
Решение:
Рассеянный Учёный пошёл на рыбалку. На своём заветном месте он забросил две свои удочки и стал ждать поклёвки. Учёный давно и совершенно точно подсчитал, что на первой удочке от заброса до поклёвки в среднем проходит две минуты, а на второй — три минуты, при этом время ожидания не зависит ни от каких предыдущих событий. Найдите математическое ожидание случайной величины «время ожидания первой поклёвки».
Ответ:
Решение:
Иван-Царевич учится стрелять из лука. Он положил в колчан 14 стрел и пошёл стрелять по шишкам в лес. Он сбивает шишку с вероятностью 0,1, и за каждую сбитую шишку Царевна-Лягушка дает ему ещё 3 стрелы. Стреляет Иван-Царевич до тех пор, пока стрелы у него не кончатся. Найдите математическое ожидание количества выстрелов, которые сделает Иван-Царевич.
Ответ:
Решение:
На три случайных поля шахматной доски поставили три ладьи. Найдите математическое ожидание числа полей на доске, которые находятся под боем хотя бы одной ладьи. Считается, что если ладья стоит на каком-то поле, то она сама это поле не бьёт, но другая ладья может его бить.
Ответ:
Решение:
У Рассеянного Учёного в лаборатории стоит ящик, в котором 112 гаек с правой резьбой и 7 таких же с виду гаек с левой резьбой. Для создания уникальной установки Учёному потребовалось 5 гаек с левой резьбой. Он по очереди вынимает наугад гайки из ящика до тех пор, пока ему не попадутся 5 нужных гаек. Найдите математическое ожидание числа вынутых к этому моменту гаек.
Ответ:
Решение:
Есть 4 монеты разного веса. За одно действие можно взвесить две монеты на чашечных весах без гирь и узнать, какая из них тяжелее. Требуется упорядочить монеты по весу. Покажите, что существует способ упорядочить монеты, при котором математическое ожидание числа взвешиваний меньше, чем 4,8.
Ответ:
Решение:
Робот-пылесос «Orthogonal» решил пропылесосить координатную плоскость. Он выходит из точки $O$, расположенной в начале координат, и проходит по прямой расстояние $X_1$. В точке, куда он пришел, пылесос поворачивается и описывает окружность с центром в начале координат. Завершив окружность, он, не меняя направления, проходит по прямой расстояние $X_2$. Затем он снова поворачивается боком к началу координат, чтобы снова описать окружность с центром в начале координат, а завершив ее, продолжает движение по прямой и проходит расстояние $X_3$. Таким образом он действует и дальше. Известно, что величины $X_1$, $X_2$, $X_3$, … подчиняются некоторому распределению с математическим ожиданием $a$ и дисперсией $d$. Найдите математическое ожидание площади круга, ограниченного $n$-й окружностью, по которой прошел пылесос.
Ответ:
Решение:
Капризная принцесса выбирает жениха. К ней сватается 100 женихов, один другого лучше, и нет средь них двоих равных друг другу. Но только вот сватаются они в случайном порядке. Назовем жениха видным, если он нравится принцессе больше всех, кто сватался прежде. Первый по счету жених тоже видный, поскольку перед ним никого не было.
Будем говорить, что видный жених и все последующие, которые сватаются после него, но прежде следующего видного (если он есть), образуют вереницу женихов. Найдите математическое ожидание числа женихов в первой веренице.
Будем говорить, что видный жених и все последующие, которые сватаются после него, но прежде следующего видного (если он есть), образуют вереницу женихов. Найдите математическое ожидание числа женихов в первой веренице.
Ответ:
Решение:
Имеются два несимметричных игральных кубика. Известно, что: - вероятность выпадения 1 очка на первом кубике равна 0,14; - вероятность выпадения 1 очка на втором кубике равна 0,35; - при всех $n$ от 2 до 6 отношение вероятности выпадения $n$ очков к вероятности выпадения $n-1$ очков на первом кубике в точности в $\frac{n}{n-1}$ раз больше, чем это же отношение для второго кубика.
Найдите математическое ожидание числа очков, выпадающих при бросании второго кубика.
Найдите математическое ожидание числа очков, выпадающих при бросании второго кубика.
Ответ:
Решение:
На шахматную доску на 8 случайных полей поставили 8 ладей. Ладья бьёт все поля, расположенные с ней на одной горизонтали и на одной вертикали, кроме поля, на котором стоит она сама (другая ладья это поле может бить). Найдите математическое ожидание числа полей, которые находятся под боем хотя бы одной ладьи. Результат округлите до тысячных.
Ответ:
Решение:
В банде $n$ разбойников, и любые двое либо знакомы друг с другом с вероятностью $p$ независимо от прочих, либо не знакомы с вероятностью $q=1-p$. Назовём четверых разбойников странной четвёркой, если один из них знаком с тремя остальными, но из этих троих никто не знает друг друга. Найдите математическое ожидание случайной величины «количество странных четвёрок в банде».
Ответ:
Решение:
Велел отец сыну убрать камни с поля. Камней $n$, разбросаны они по полю случайно, а средний вес одного камня равен $M$ кг. В первый день сын должен убирать камни до тех пор, пока под очередным случайным камнем не найдёт записку отца «Убери этот камень и хватит на сегодня, сынок». Остальные камни сын должен убрать на следующий день. Найдите математическое ожидание случайной величины «общий вес камней, убранных в первый день».
Ответ:
Решение:
Муха ползет из нижней левой вершины $M$ в верхнюю правую вершину $N$ решетки $3\times 5$, случайным образом выбрав один из кратчайших равновозможных маршрутов на этой решетке (на рисунке показан один из таких путей). Иногда она поворачивает налево, иногда — направо. Нас интересует, сколько поворотов сделает муха. Найдите математическое ожидание этой случайной величины.
Ответ:
Решение: