На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $K$ так, что $AK=9\sqrt2/2$, $BK=9$, $KC=3$. Около треугольника $ABK$ описана окружность. Через точку $C$ и точку $D$, лежащую на стороне $AB$, проведена прямая, которая пересекает окружность в точке $P$, причем $CP\gt CD$. Найдите $DP$, если $\angle APB=\angle BAC$, $CD$ — биссектриса треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Окружность проходит через вершины $A$ и $C$ равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=BC$) и пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$, соответственно. $MK$, хорда этой окружности, равная по длине $2\sqrt5$, содержит точку $H$, лежащую на $AC$ и являющуюся основанием высоты треугольника $ABC$. Прямая, проходящая через точку $C$ и перпендикулярная $BC$, пересекает прямую $MN$ в точке $L$. Найти радиус окружности, описанной около треугольника $MKL$, если $\cos\angle ABK=\frac23$.
Ответ:
Решение:
Дан вписанный четырехугольник $ABCD$. Лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $E$, а лучи $DA$ и $CB$ — в точке $F$. Луч $BA$ пересекает описанную вокруг треугольника $DEF$ окружность в точке $L$, а луч $BC$ пересекает ту же окружность в точке $K$. Длина отрезка $LK$ равна 5, $\angle EBC=15^\circ$. Найти радиус окружности, описанной около треугольника $EFK$.
Ответ:
Решение:
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $K$ так, что $AK=8$, $BK=24$, $KC=3$. Около треугольника $ABK$ описана окружность. Через точку $C$ и середину $D$ стороны $AB$ проведена прямая, которая пересекает окружность в точке $P$, причем $CP\gt CD$. Найдите $DP$, если $\angle APB=\angle BAC$.
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ стороны $AB$ и $BC$ равны, $K$ — точка пересечения диагоналей. Описанная окружность треугольника $ABD$ повторно пересекает сторону $BC$ в точке $Y$, а описанная окружность треугольника $BCD$ повторно пересекает сторону $AB$ в точке $X$. Докажите, что $\angle AKX=\angle CKY$.
Ответ:
Решение:
Пусть $O$ — центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$. На стороне $BC$ отметили точку $D$. Окружности, описанные около треугольников $BOD$ и $COD$, повторно пересекают отрезки $AB$ и $AC$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Докажите, что из отрезков $BX$, $XY$ и $YC$ можно сложить треугольник.
Ответ:
Решение:
Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$ с попарно непараллельными сторонами. На стороне $AD$ выбирается произвольная точка $P$, отличная от $A$ и $D$. Описанные окружности треугольников $ABP$ и $CDP$ вторично пересекаются в точке $Q$. Докажите, что прямая $PQ$ проходит через фиксированную точку, не зависящую от выбора точки $P$.
Ответ:
Решение:
Точка $O$ — центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$. Прямая, перпендикулярная стороне $AC$, пересекает сторону $BC$ и прямую $AB$ в точках $Q$ и $P$ соответственно. Докажите, что точки $B$, $O$ и середины отрезков $AP$ и $CQ$ лежат на одной окружности.
Ответ:
Решение:
Пусть $OP$ — диаметр окружности $\Omega$, $\omega$ — окружность с центром в точке $P$ и радиусом меньше, чем у $\Omega$. Окружности $\Omega$ и $\omega$ пересекаются в точках $C$ и $D$. Хорда $OB$ окружности $\Omega$ пересекает вторую окружность в точке $A$. Найдите длину отрезка $AB$, если $BD\cdot BC=5$.
Ответ:
Решение:
Продолжение биссектрисы $AD$ треугольника $ABC$ пересекает окружность, описанную вокруг этого треугольника, в точке $E$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $BC=a$, $\angle BAC=\alpha$, $AE=d$.
Ответ:
Решение:
Города $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ лежат на одной окружности и попарно соединены прямолинейными дорогами. Два велосипедиста выехали одновременно из $A$ в $D$ и из $C$ в $E$, повстречавшись в пути. Затем они выехали одновременно из $D$ в $B$ и из $E$ в $C$, опять повстречавшись в пути. Наконец, они выехали одновременно из $B$ в $E$ и из $C$ в $B$, прибыв в пункты назначения одновременно. Найдите $BC$, если $AE=2$ км и $CD=4$ км, а скорость каждого велосипедиста постоянна.
Ответ:
Решение:
В окружность радиуса 3 вписаны треугольники $ABC$ и $AMN$. При этом прямая $AM$ проходит через середину $E$ отрезка $BC$, а прямая $BN$ — через середину $F$ отрезка $AC$. Найдите периметр треугольника $ABC$, если $AM:AE=2:1$ и $BN:BF=17:13$.
Ответ:
Решение:
Продолжение биссектрисы $CD$ треугольника $ABC$ пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке $E$. Окружность, описанная около треугольника $ADE$, пересекает прямую $AC$ в точке $F$, отличной от $A$. Найдите $BC$, если $AC=b$, $AF=a$.
Ответ:
Решение:
На биссектрисе угла $BAC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $M$, а на продолжении стороны $AB$ за точку $A$ — точка $N$ так, что $AC=AM=1$ и $\angle ANM=\angle CNM$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $CNM$.
Ответ:
Решение:
Угол при вершине $A$ остроугольного треугольника $ABC$ равен $60^\circ$. Через вершины $B$ и $C$ проведены прямые, перпендикулярные сторонам $AB$ и $AC$ соответственно, пересекающиеся в точке $D$. Через вершину $B$ проведена прямая, перпендикулярная прямой $AD$ и пересекающая сторону $AC$ в точке $M$. Длины отрезков $MA$ и $MC$ равны $3$ и $1$ соответственно. Найти длину стороны $BC$.
Ответ:
Решение:
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $X$ и $Y$, а на меньшей дуге $BC$ его описанной окружности отмечены точки $P$ и $Q$ так, что указанные на чертеже штрихами дуги и отрезки равны. Лучи $PX$ и $QY$ пересекаются в точке $R$. Найдите угол $BAC$, если угол $BRC$ равен $\alpha$.
Ответ:
Решение:
Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$ ($AB\lt CD$). Окружность $\omega_1$, описанная около треугольника $ABC$, повторно пересекает сторону $AD$ в точке $F$, а окружность $\omega_2$, описанная около треугольника $ACD$, повторно пересекает сторону $BC$ в точке $E$ (точки $E$ и $F$ расположены так, как показано на рисунке). Найдите отношение длин отрезков $AF$ и $CE$, если отношение радиуса окружности $\omega_1$ к радиусу окружности $\omega_2$ равно $1:2$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ на медиане $AM$ и биссектрисе $CL$ как на диаметрах построены окружности $\Omega$ и $\omega$ соответственно, пересекающиеся в точках $P$ и $Q$. Отрезок $PQ$ параллелен высоте треугольника $ABC$, проведённой из вершины $B$. Окружность $\Omega$ пересекает сторону $AC$ повторно в точке $N$. Найдите длины сторон $AC$ и $BC$, если $AB=10$, $AN=8$.
Ответ:
Решение:
Равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB=BC$) вписан в окружность $\omega$, а на дуге $AC$, не содержащей точку $B$, взяты точки $E$ и $D$ так, что отрезки $AD$ и $CE$ пересекаются в точке $F$. На лучах $EA$ и $DC$ отметили точки $X$ и $Y$ соответственно таким образом, что $AX=CF$ и $CY=AF$. Найдите площадь четырёхугольника $BXFY$, если $BF=7{,}5$, $XY=15$.
Ответ:
Решение:
Равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB=BC$) вписан в окружность $\omega$, а на дуге $AC$, не содержащей точку $B$, взяты точки $E$ и $D$ так, что отрезки $AD$ и $CE$ пересекаются в точке $F$. На лучах $EA$ и $DC$ отметили точки $X$ и $Y$ соответственно таким образом, что $AX=CF$ и $CY=AF$. Найдите площадь четырёхугольника $BXFY$, если $BF=17$, $XY=31$.
Ответ:
Решение: