Две окружности одинакового радиуса 9 пересекаются в точках $A$ и $B$. На первой окружности выбрана точка $C$, а на второй — точка $D$. Оказалось, что точка $B$ лежит на отрезке $CD$, а $\angle CAD=90^\circ$. На перпендикуляре к $CD$, проходящем через точку $B$, выбрана точка $F$ так, что $BF=BD$ (точки $A$ и $F$ расположены по разные стороны от прямой $CD$). Найдите длину отрезка $CF$.
Ответ:
Решение:
а) Две окружности одинакового радиуса 5 пересекаются в точках $A$ и $B$. На первой окружности выбрана точка $C$, а на второй — точка $D$. Оказалось, что точка $B$ лежит на отрезке $CD$, а $\angle CAD=90^\circ$. На перпендикуляре к $CD$, проходящем через точку $B$, выбрана точка $F$ так, что $BF=BD$ (точки $A$ и $F$ расположены по разные стороны от прямой $CD$). Найдите длину отрезка $CF$.
б) Пусть дополнительно известно, что $BC=6$. Найдите площадь треугольника $ACF$.
б) Пусть дополнительно известно, что $BC=6$. Найдите площадь треугольника $ACF$.
Ответ:
Решение:
а) Две окружности одинакового радиуса 5 пересекаются в точках $A$ и $B$. На первой окружности выбрана точка $C$, а на второй — точка $D$. Оказалось, что точка $B$ лежит на отрезке $CD$, а $\angle CAD=90^\circ$. На перпендикуляре к $CD$, проходящем через точку $B$, выбрана точка $F$ так, что $BF=BD$ (точки $A$ и $F$ расположены по одну сторону от прямой $CD$). Найдите длину отрезка $CF$.
б) Пусть дополнительно известно, что $BC=6$. Найдите площадь треугольника $ACF$.
б) Пусть дополнительно известно, что $BC=6$. Найдите площадь треугольника $ACF$.
Ответ:
Решение:
Хорды $AB$ и $CD$ окружности $\Gamma$ с центром $O$ имеют длину 4. Продолжения отрезков $BA$ и $CD$ соответственно за точки $A$ и $D$ пересекаются в точке $P$. Прямая $PO$ пересекает отрезок $AC$ в точке $L$, причём $AL:LC=2:3$.
а) Найдите $AP$.
б) Пусть дополнительно известно, что радиус окружности $\Gamma$ равен 2,5, а точка $T$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ACP$. Найдите длину отрезка $PT$ и площадь треугольника $ACP$.
а) Найдите $AP$.
б) Пусть дополнительно известно, что радиус окружности $\Gamma$ равен 2,5, а точка $T$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ACP$. Найдите длину отрезка $PT$ и площадь треугольника $ACP$.
Ответ:
Решение:
Хорды $AB$ и $CD$ окружности $\Gamma$ с центром $O$ имеют длину 4. Продолжения отрезков $BA$ и $CD$ соответственно за точки $A$ и $D$ пересекаются в точке $P$. Прямая $PO$ пересекает отрезок $AC$ в точке $L$, причём $AL:LC=1:4$.
а) Найдите $AP$.
б) Пусть дополнительно известно, что радиус окружности $\Gamma$ равен 3, а точка $T$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ACP$. Найдите длину отрезка $PT$ и площадь треугольника $ACP$.
а) Найдите $AP$.
б) Пусть дополнительно известно, что радиус окружности $\Gamma$ равен 3, а точка $T$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ACP$. Найдите длину отрезка $PT$ и площадь треугольника $ACP$.
Ответ:
Решение:
Дан параллелограмм $ABCD$. Окружность $\Omega$ с диаметром 13 описана вокруг треугольника $ABM$, где $M$ — точка пересечения диагоналей данного параллелограмма. $\Omega$ вторично пересекает луч $CB$ и отрезок $AD$ в точках $E$ и $K$ соответственно. Длина дуги $AE$ в два раза больше длины дуги $BM$ (дуги $AE$ и $BM$ не имеют общих точек). Длина отрезка $EM$ равна 12. Найдите длины отрезков $BC$, $BK$ и периметр треугольника $AKM$.
Ответ:
Решение:
Окружность проходит через вершины $Q$ и $E$ треугольника $MQE$ и пересекает его стороны $MQ$ и $ME$ соответственно в точках $B$ и $D$, отличных от вершин треугольника. Отношение площади треугольника $BDM$ к площади треугольника $MQE$ равно $9/121$.
а) Найдите отношение $QE:BD$.
б) Пусть дополнительно известно, что отношение площадей треугольников $BME$ и $DQM$ равно $4$. Найдите отношение $BQ:DE$.
а) Найдите отношение $QE:BD$.
б) Пусть дополнительно известно, что отношение площадей треугольников $BME$ и $DQM$ равно $4$. Найдите отношение $BQ:DE$.
Ответ:
Решение:
Равнобедренный треугольник $PQT$ с основанием $PQ$ вписан в окружность $\Omega$. Хорды $AB$ и $CD$, параллельные прямой $PQ$, пересекают сторону $QT$ в точках $L$ и $M$ соответственно, и при этом $QL=LM=MT$. Найдите радиус окружности $\Omega$ и площадь треугольника $PQT$, если $AB=2\sqrt{14}$, $CD=2\sqrt{11}$, а центр $O$ окружности $\Omega$ расположен между прямыми $AB$ и $CD$.
Ответ:
Решение:
Вокруг равнобедренного остроугольного треугольника $NPQ$ с основанием $NQ$ описана окружность $\Omega$. Расстояние от середины дуги $PN$, не содержащей точки $Q$, до стороны $PN$ равно $4$, а расстояние от середины дуги $QN$, не содержащей точки $P$, до стороны $QN$ равно $0{,}4$. Найдите радиус окружности $\Omega$ и площадь треугольника $NPQ$.
Ответ:
Решение:
Вокруг равнобедренного остроугольного треугольника $NPQ$ с основанием $NQ$ описана окружность $\Omega$. Точка $F$ — середина дуги $PN$, не содержащей точки $Q$. Известно, что расстояния от точки $F$ до прямых $PN$ и $QN$ равны соответственно $5$ и $\dfrac{20}{3}$. Найдите радиус окружности $\Omega$ и площадь треугольника $NPQ$.
Ответ:
Решение:
На медиане $AM$ треугольника $ABC$ выбрана точка $K$ так, что $\angle BAC+\angle BKC=180^\circ$. Известно, что $AB=10$, $CK=4$, $AC=8$. Найдите $BK$.
Ответ:
Решение:
Окружность касается стороны $AD$ четырёхугольника $ABCD$ в точке $D$, а стороны $BC$ — в её середине $M$. Диагональ $AC$ пересекает окружность в точках $K$ и $L$ ($AK\lt AL$). Известно, что $AK=5$, $KL=4$, $LC=1$. Лучи $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $S$, причём $\angle ASB=120^\circ$. Найти радиус окружности и площадь $ABCD$.
Ответ:
Решение:
Через точку $A$ проведены две прямые: одна из них касается окружности в точке $B$, а другая пересекает эту окружность в точках $C$ и $D$ так, что $D$ лежит на отрезке $AC$. Найти $AB$, $CD$ и радиус окружности, если $BC=4$, $BD=3$, $\angle BAC=\arccos\dfrac{1}{3}$.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ вершины $A$, $B$ и точка пересечения высот треугольника $E$ лежат на окружности, которая пересекает отрезок $BC$ в точке $D$. Найти радиус окружности, если $CD=4$, $BD=5$.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ высоты $AH_1$ и $BH_2$ пересекаются в точке $H$. Окружность $\omega$, описанная около треугольника $ABH$, пересекает сторону $BC$ в точке $N$. Известно, что $BN=12$, $CN=4$. Найти радиус окружности $\omega$.
Ответ:
Решение:
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $K$ так, что $BK=5$, $KC=4$. Около треугольника $ABK$ описана окружность с центром в точке $O$, причем площадь треугольника $AOC$ равна $2\sqrt{15}$. Через точку $C$ и середину $D$ стороны $AB$ проведена прямая, которая пересекает окружность в точке $P$, причем $CP\gt CD$. Найдите $CD$, если $\angle APB=\angle BAC$.
Ответ:
Решение:
Пусть $ABCD$ — параллелограмм, отличный от прямоугольника, а точка $P$ выбрана внутри него так, что описанные окружности треугольников $PAB$ и $PCD$ имеют общую хорду, перпендикулярную $AD$. Докажите, что радиусы данных окружностей равны.
Ответ:
Решение:
Прямоугольники $ABCD$ и $DEFG$ расположены так, что точка $D$ лежит на отрезке $BF$, а точки $B$, $C$, $E$, $F$ лежат на одной окружности (см. рисунок).
Докажите, что $\angle ACE=\angle CEG$.
Докажите, что $\angle ACE=\angle CEG$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$. На продолжении отрезка $LA$ за точку $A$ выбрана точка $K$ так, что $AK=AL$. Описанные окружности треугольников $BLK$ и $CLK$ пересекают отрезки $AC$ и $AB$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что прямые $PQ$ и $BC$ параллельны.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ точка $O$ — центр описанной окружности. Точка $B_1$ симметрична точке $B$ относительно стороны $AC$. Прямые $AO$ и $B_1C$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что луч $KA$ является биссектрисой угла $BKB_1$.
Ответ:
Решение: