Найти объём тела, ограниченного цилиндрической поверхностью $y=\sqrt x$ и плоскостями $xOz$ и $z=4-x$ (см. рисунок).
Ответ:
Решение:
Вычислить объём тела, ограниченного поверхностью, образованной вращением параболы $y^2=4x$ вокруг своей оси (параболоид вращения), и плоскостью, перпендикулярной к его оси и отстоящей от вершины параболы на расстояние, равное 1.
Ответ:
Решение:
Криволинейная трапеция, ограниченная линией $y=xe^x$ и прямыми $x=1$, $y=0$, вращается вокруг оси абсцисс. Найти объём тела, которое при этом получается.
Ответ:
Решение:
Найдите площадь фигуры, ограниченной гиперболой $\displaystyle y=\frac{4}{x-1}$ и прямыми $x=2$, $y=x-4$. Сделайте чертёж.
Ответ:
Решение:
Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой $y=x^2-4x$ и прямыми $y=4-x$, $x=3$. Сделайте чертёж.
Ответ:
Решение:
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=\cos\pi x$ и параболой $y=x^2-2$. Сделайте чертёж.
Ответ:
Решение:
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=2^{|x|}$ и параболой $y=8-x^2$. Сделайте чертёж.
Ответ:
Решение:
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=\log_2 x$, параболой $y=x^2-6x+5$ и прямой $x=4$. Сделайте чертёж.
Указание. $\displaystyle \int\log_2 x\,dx=x\log_2\frac{x}{e}+C$.
Указание. $\displaystyle \int\log_2 x\,dx=x\log_2\frac{x}{e}+C$.
Ответ:
Решение:
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=|x|^3$ и прямой $7x-3y+10=0$. Сделайте чертёж.
Ответ:
Решение:
Найдите площадь фигуры, ограниченной линией $y=\sqrt{|x|}$ и параболой $\displaystyle y=\frac{x^2}{8}$. Сделайте чертёж.
Ответ:
Решение:
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями $y=(|x|-1)^2$, $y=4-|x-1|$ и прямой $x=2$. Сделайте чертёж.
Ответ:
Решение:
Найти объём тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком функции $y=\sin x$ и прямыми $x=0$, $x=\pi$.
Ответ:
Решение:
Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $\displaystyle y=\frac{1}{1+x^2}$ и $y=2{,}5-2x^2$. Сделайте чертеж.
Ответ:
Решение:
Найти объём тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=\ln x$, прямой $x=e$ и осью абсцисс.
Ответ:
Решение:
Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y=x^2+4x+3$ и $y=5-|x+2|$. Сделать чертёж.
Ответ:
Решение:
Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функции $\displaystyle y=\frac{4}{x}$ и $y=-x^2+4x+1$. Сделать чертёж.
Ответ:
Решение:
Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной графиком функции $y=\cos \pi x$ на отрезке $\displaystyle -\frac12\leqslant x\leqslant\frac12$.
Ответ:
Решение: