В трапеции $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $E$. Окружность проходит через точки $E$, $C$ и $D$, пересекает основание $AD$ в точке $F$ и касается прямой $BF$.
а) Докажите, что треугольник $CDF$ подобен треугольнику $BFC$.
б) Найдите основание $BC$, если углы $AED$ и $BCD$ равны, радиус окружности равен 17, а $CD=30$.
а) Докажите, что треугольник $CDF$ подобен треугольнику $BFC$.
б) Найдите основание $BC$, если углы $AED$ и $BCD$ равны, радиус окружности равен 17, а $CD=30$.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям. Из точки $A$ на сторону $CD$ опустили перпендикуляр $AH$. Перпендикуляр, восставленный к той же стороне в точке $C$, пересекает сторону $AB$ в точке $E$.
а) Докажите, что $BH\parallel ED$.
б) Найдите отношение $BH:ED$, если $\angle ADC=60^{\circ}$.
а) Докажите, что $BH\parallel ED$.
б) Найдите отношение $BH:ED$, если $\angle ADC=60^{\circ}$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольной трапеции $ABCD$ с прямым углом при вершине $A$ расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания $AD$, вторая — боковых сторон, меньшего основания $BC$ и первой окружности.
а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание $AD$ в точке $P$. Докажите, что $\frac{AP}{PD}=\sin D$.
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны $\frac{4}{3}$ и $\frac{1}{3}$.
а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание $AD$ в точке $P$. Докажите, что $\frac{AP}{PD}=\sin D$.
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны $\frac{4}{3}$ и $\frac{1}{3}$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольной трапеции $ABCD$ с прямым углом при вершине $A$ расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания $AD$, вторая — боковых сторон, меньшего основания $BC$ и первой окружности.
а) Докажите, что точка касания окружностей равноудалена от прямых $AB$ и $CD$.
б) Найдите меньшее основание трапеции, если $AD=28$, а радиус большей окружности равен $\frac{7}{2}$.
а) Докажите, что точка касания окружностей равноудалена от прямых $AB$ и $CD$.
б) Найдите меньшее основание трапеции, если $AD=28$, а радиус большей окружности равен $\frac{7}{2}$.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ основание $AD$ в два раза больше основания $BC$. Внутри трапеции взяли точку $M$ так, что углы $ABM$ и $DCM$ прямые.
а) Докажите, что $AM=DM$.
б) Найдите угол $BAD$, если угол $ADC$ равен $55^{\circ}$, а расстояние от точки $M$ до прямой $AD$ равно стороне $BC$.
а) Докажите, что $AM=DM$.
б) Найдите угол $BAD$, если угол $ADC$ равен $55^{\circ}$, а расстояние от точки $M$ до прямой $AD$ равно стороне $BC$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольной трапеции $ABCD$ с прямым углом при вершине $A$ расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания $AD$, вторая — боковых сторон, меньшего основания $BC$ и первой окружности.
а) Докажите, что точка касания окружностей равноудалена от прямых $AB$ и $CD$.
б) Найти меньшее основание трапеции, если $AD=28$, радиус большей окружности равен $3{,}5$.
а) Докажите, что точка касания окружностей равноудалена от прямых $AB$ и $CD$.
б) Найти меньшее основание трапеции, если $AD=28$, радиус большей окружности равен $3{,}5$.
Ответ:
Решение:
Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Точки $M$ и $N$ — середины $AB$ и $CD$ соответственно. Окружность, проходящая через точки $B$ и $C$, пересекает отрезки $BM$ и $CN$ в точках $P$ и $Q$ (отличных от концов отрезков) соответственно.
а) Докажите, что точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ лежат на одной окружности.
б) Найдите $QN$, если отрезки $DP$ и $PC$ перпендикулярны, $AB=21$, $BC=4$, $CD=20$, $AD=17$.
а) Докажите, что точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ лежат на одной окружности.
б) Найдите $QN$, если отрезки $DP$ и $PC$ перпендикулярны, $AB=21$, $BC=4$, $CD=20$, $AD=17$.
Ответ:
Решение:
В параллелограмме $ABCD$ с острым углом $BAD$ точка $E$-середина стороны $BC$. Через точку $B$ перпендикулярно прямой $AB$ и через точку $E$ перпендикулярно прямой $DE$ проведены соответственно прямые, $DE$ проведены соответственно две прямые, которые пересекаются в точке $K$.
a) Докажите, что $AK = KD$.
б) Найдите угол $BAD$, если расстояние от точки $K$ до прямой $AD$ равно длине отрезка $EC$ и $\angle CED = 58^\circ$.
a) Докажите, что $AK = KD$.
б) Найдите угол $BAD$, если расстояние от точки $K$ до прямой $AD$ равно длине отрезка $EC$ и $\angle CED = 58^\circ$.
Ответ:
Решение:
В квадрате $ABCD$ на диагонали $BD$ и на сторонах $AB$ и $BC$ отметили соответственно точки $P, E$ и $F$ такие, что $BE = BF$, а прямая, проходящая через точку $P$ параллельно прямой $AC$, отсекает от квадрата треугольник, площадь которого равна площади четырёхугольника $EBFP$ и в четыре раза меньше площади квадрата.
a) Докажите, что если $BP \cdot BE = \sqrt{2}$, то $AB = 2$.
б) Найдите отношение площадей треугольников $EPF$ и $EBF$.
a) Докажите, что если $BP \cdot BE = \sqrt{2}$, то $AB = 2$.
б) Найдите отношение площадей треугольников $EPF$ и $EBF$.
Ответ:
Решение:
В окружность вписан четырехугольник $ABCD$, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке $E$. Прямая, проходящая через точку $E$ перпендикулярно прямой $AB$, пересекает сторону $CD$ в точке $M$.
а) Докажите, что $EM$ — медиана треугольника $CED$.
б) Найдите $EM$, если $AD = 8$, $AB = 4$ и угол $\angle CDB$ равен $60^{\circ}$.
а) Докажите, что $EM$ — медиана треугольника $CED$.
б) Найдите $EM$, если $AD = 8$, $AB = 4$ и угол $\angle CDB$ равен $60^{\circ}$.
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ прямые $AD$ и $BC$ перпендикулярны, а длина отрезка, соединяющего середины диагоналей $BD$ и $AC$, равна $2013$. Найдите длину отрезка, соединяющего середины сторон $CD$ и $AB$.
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны, угол $A$ — прямой, $AC=AD$. На стороне $AB$ выбрана точка $M$ так, что $MC$ пересекает $BD$ в точке $N$, $BM=BN=AD$. Найдите площадь четырехугольника $ABCD$, если $DC=6$.
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны, угол $A$ — прямой, $AC=AD$. На стороне $AB$ выбрана точка $M$ так, что $MC$ пересекает $BD$ в точке $N$, $BM=BN=AD$. Найдите площадь четырехугольника $ABCD$, если $DC=12$.
Ответ:
Решение:
Докажите, что существует многоугольник, который можно разделить отрезком на две равные части так, что этот отрезок разделит одну из сторон многоугольника пополам, а другую — в отношении $2:1$.
Ответ:
Решение:
Дан правильный $4n$-угольник $A_1A_2\ldots A_{4n}$ площади $S$, причём $n\gt 1$. Найдите площадь четырёхугольника $A_1A_nA_{n+1}A_{n+2}$.
Ответ:
Решение:
Существует ли вписанный в окружность $19$-угольник, у которого нет одинаковых по длине сторон, а все углы выражаются целым числом градусов?
Ответ:
Решение:
Докажите, что среди вершин выпуклого девятиугольника можно найти три, образующие тупоугольный треугольник, ни одна сторона которого не совпадает со сторонами девятиугольника.
Ответ:
Решение:
Пятиугольник $ABCDE$ описан около окружности. Известно, что $AB=BC$, $CD=DE$, $AE=6$, $AC=8$, $CE=7$. Найти радиус окружности, вписанной в пятиугольник, и угол $BCD$.
Ответ:
Решение:
Баран на пастбище привязан сразу к двум деревьям, верёвками по 5 метров длиной. На пастбище есть ещё два дерева. Вместе эти деревья образуют 4 соседние вершины правильного шестиугольника со стороной в 2 метра (см. рисунок). Насколько близко он сможет подойти к дереву, к которому привязан?
Ответ:
Решение:
Дан такой выпуклый четырёхугольник $ABCD$, что $AB=BC$ и $AD=DC$. Точки $K$, $L$ и $M$ — середины отрезков $AB$, $CD$ и $AC$ соответственно. Перпендикуляр, проведённый из точки $A$ к прямой $BC$, пересекается с перпендикуляром, проведённым из точки $C$ к прямой $AD$, в точке $H$. Докажите, что прямые $KL$ и $HM$ перпендикулярны.
Ответ:
Решение: