В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$) проведена биссектриса $CD$. На основании $AC$ отмечена точка $F$ так, что $BD=CF$. Точка $E$ выбрана таким образом, что четырехугольник $CDEF$ — параллелограмм. Докажите, что $BE=BF$.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$. На внешней биссектрисе угла $ABC$ отмечена точка $D$, лежащая внутри угла $BAC$, такая, что $\angle BCD=60^\circ$. Известно, что $CD=2AB$. Точка $M$ — середина отрезка $BD$. Докажите, что треугольник $AMC$ — равнобедренный.
Ответ:
Решение:
На продолжении основания $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ за вершину $A$ выбрана точка $K$, а на боковой стороне $AB$ — точка $L$ так, что $KL=LC$. Оказалось, что $KA=LB$. Найдите угол $ABC$.
Ответ:
Решение:
$BM$ — медиана остроугольного треугольника $ABC$. Биссектриса угла $C$ пересекает прямую, проходящую через $A$ параллельно $BC$, в точке $X$. Оказалось, что $BM=MX$. Докажите, что $BC\gt AC$.
Ответ:
Решение:
В выпуклом пятиугольнике $ABCDE$ $AB$ параллельно $DE$, $CD=DE$, $CE$ перпендикулярно $BC$ и $AD$. Докажите, что прямая, проходящая через $A$ параллельно $CD$, прямая, проходящая через $B$ параллельно $CE$, и прямая, проходящая через $E$ параллельно $BC$, пересекаются в одной точке.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ угол $C$ в 2 раза больше угла $B$, $CD$ — биссектриса. Из середины $M$ стороны $BC$ опущен перпендикуляр $MH$ на отрезок $CD$. На стороне $AB$ нашлась такая точка $K$, что $KMH$ — равносторонний треугольник. Докажите, что точки $M$, $H$ и $A$ лежат на одной прямой.
Ответ:
Решение:
Биссектрисы углов $A$ и $C$ разрезают неравнобедренный треугольник $ABC$ на четырёхугольник и три треугольника, причём среди этих трёх треугольников есть два равнобедренных. Найдите углы треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. На его стороне $AB$ отметили точку $X$ так, что угол $\angle ABC=4\angle ACX$. Точка $M$ — середина стороны $AC$. Найдите длину отрезка $BX$, если известно, что $BC=53$, $BM=40$.
Ответ:
Решение:
На диагонали $AC$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ отмечена точка $T$ так, что $AD=BT$. Оказалось, что $AB=BC=CT$, $\angle ABT=\angle CAD$, $\angle ABC=132^\circ$. Сколько градусов составляет угол $\angle BCD$?
Ответ:
Решение:
Дан прямоугольный равнобедренный треугольник $ABC$ с прямым углом $A$. Квадрат $KLMN$ расположен, как на рисунке: точки $K$, $L$, $N$ лежат на сторонах $AB$, $BC$, $AC$ соответственно, а точка $M$ расположена внутри треугольника $ABC$. Найдите длину отрезка $AC$, если известно, что $AK=7$, $AN=3$.
Ответ:
Решение:
Внутри равностороннего треугольника $ABC$ отмечена произвольная точка $M$. Докажите, что можно выбрать на стороне $AB$ точку $C_1$, на стороне $BC$ — точку $A_1$, а на стороне $AC$ — точку $B_1$ таким образом, чтобы длины сторон треугольника $A_1B_1C_1$ были равны отрезкам $MA$, $MB$ и $MC$.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$) точка $M$ — середина стороны $AB$, а точка $K$ на стороне $AC$ такова, что $\angle ABK=\angle BKA$. Оказалось, что $KB=KM$. Докажите, что $2AC=3AB$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ провели биссектрису $BE$ и серединный перпендикуляр $m$ к стороне $AB$. Оказалось, что $BE=EC$, а прямая $m$ пересекает сторону $BC$. Докажите, что угол $C$ меньше 36 градусов.
Ответ:
Решение:
$ABCD$ — выпуклый четырёхугольник, где $AB=7$, $BC=4$, $AD=DC$, $\angle ABD=\angle DBC$. Точка $E$ на отрезке $AB$ такова, что $\angle DEB=90^\circ$. Найдите длину отрезка $AE$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ провели биссектрису $BD$, в треугольнике $BDC$ — биссектрису $DE$, а в треугольнике $DEC$ — биссектрису $EF$. Оказалось, что прямые $BD$ и $EF$ параллельны. Докажите, что угол $ABC$ вдвое больше угла $BAC$.
Ответ:
Решение:
Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $A$. На плоскости нашлась точка $X$, для которой $AB=BX$ и $AX=XC$. Чему может быть равен угол $BAX$, если угол $BXC$ равен $108^\circ$?
Ответ выразите в градусах. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ выразите в градусах. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ отметили точки $D$ и $E$ — середины $AB$ и $BC$ соответственно. Найдите угол между прямыми, содержащими биссектрисы углов $CAB$ и $BED$, если $\angle ABC=56^\circ$. Ответ укажите в градусах. Напомним, что угол между прямыми — это наименьший из углов, образованных при их пересечении.
Ответ:
Решение:
Угол $C$ треугольника $ABC$ равен $60^\circ$. На продолжении стороны $BC$ за точку $C$ выбрана точка $D$ так, что $DC+CA=BC$. Известно, что $AB=8$. Найдите длину $AD$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ с углом $B$, равным $60^\circ$, проведены биссектрисы $AY$ и $CX$. На отрезках $AX$ и $CY$ отмечены точки $K$ и $N$ так, что $KN\parallel AC$. Прямая $KN$ пересекает отрезки $CX$ и $AY$ в точках $L$ и $M$ соответственно. Оказалось, что $KL=LM=MN$. Известно, что $KN=9$.
1. Найдите длину отрезка $CN$.
2. Найдите длину отрезка $AC$.
1. Найдите длину отрезка $CN$.
2. Найдите длину отрезка $AC$.
Ответ:
Решение:
Выпуклый четырёхугольник $ABCD$ таков, что $\angle ABD=\angle CBD=47^\circ$. Точка $K$ такова, что точка $D$ является серединой отрезка $AK$. Оказалось, что $BC=AB+CK$.
Сколько градусов составляет $\angle BCK$?
Сколько градусов составляет $\angle BCK$?
Ответ:
Решение: