Медиана $AM$ и биссектриса $CD$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle B=90^\circ$) пересекаются в точке $O$. Найти площадь треугольника $ABC$, если $CO=9$, $OD=5$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ с тупым углом $A$ на стороне $AB$ как на диаметре построена окружность. Прямые $AC$ и $BC$ пересекают эту окружность в точках $D$ и $E$ соответственно ($D\not\equiv A$, $E\not\equiv B$). Через точки $D$ и $E$ к окружности проведены касательные, пересекающиеся в точке $F$. Прямая $CK$ перпендикулярна прямой $AB$, а точка $K$ — точка пересечения прямых $BD$ и $CK$. Найдите радиус описанной около треугольника $ACK$ окружности, если $FD=6$, а угол $CBD$ равен $\arcsin 0{,}6$.
Ответ:
Решение:
Последовательность величин углов при вершинах $A$, $B$, $C$ в остроугольном треугольнике $ABC$ образует в данном порядке возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть $D$, $E$ — точки пересечения его высот и биссектрис, соответственно. Последовательность величин углов при вершинах $B$, $D$, $E$ в остроугольном треугольнике $BDE$ образует в данном порядке возрастающую арифметическую прогрессию. Найдите градусную величину угла $C$ в треугольнике $ABC$.
Ответ:
Решение:
Биссектрисы $AA_1$ и $BB_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$, причем $AO:OA_1=2:1$. Биссектриса внешнего угла при вершине $C$ треугольника $ABC$ пересекает прямую $AB$ в точке $C_1$. Найдите угол $B_1A_1C_1$ и длину отрезка $A_1C_1$, если $AB=2$, $AC=4$.
Ответ:
Решение:
Биссектрисы $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ внешних углов треугольника $ABC$ пересекают продолжения противоположных сторон треугольника в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$ соответственно. Найдите угол $A_1C_1B_1$ и длину отрезка $A_1B_1$, если $AC=5$, $BC=2$, а угол $ACB$ равен $\arccos\dfrac{13}{20}$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $L$ — точка пересечения отрезков $B_1C_1$ и $AA_1$, $K$ — точка пересечения отрезков $B_1A_1$ и $CC_1$. Найдите отношение $LM:MK$, если $M$ — точка пересечения биссектрисы $BB_1$ с отрезком $LK$, и $AB:BC:AC=2:3:4$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ с углом $A$, равным $60^\circ$, проведена биссектриса $AD$. Радиус описанной около треугольника $ADC$ окружности с центром в точке $O$ равен $2\sqrt3/3$. Найдите длину отрезка $BM$, где $M$ — точка пересечения отрезков $AD$ и $BO$, если $AB=1$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ $\angle B=75^\circ$, длина $AC=2$ см, $H$ — точка пересечения его высот. Площадь треугольника $AHC$ равна $\sqrt{12}-3$ см$^2$. Найти площадь треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Пусть $I$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$. На сторонах $AC$ и $AB$ взяли точки $K$ и $L$ соответственно так, что прямая $IK$ перпендикулярна $CI$, а $KL$ параллельна $BI$. Докажите, что треугольник $LKI$ — равнобедренный.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $AH$. Точки $M$ и $N$ — середины отрезков $BH$ и $CH$. Докажите, что точка пересечения перпендикуляров, опущенных из точек $M$ и $N$ на прямые $AB$ и $AC$ соответственно, равноудалена от точек $B$ и $C$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $BB_1$ и $CC_1$. Известно, что центр описанной окружности треугольника $BB_1C_1$ лежит на прямой $AC$. Найдите угол $C$ треугольника.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C=90^\circ$) медиана $AM$ пересекает биссектрису $BN$ в точке $K$. Известно, что $BK=3$, $KN=2$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ сторона $AC=42$. Биссектриса $CL$ делится точкой пересечения биссектрис треугольника в отношении $2:1$, считая от вершины. Найдите длину стороны $AB$, если радиус вписанной в треугольник $ABC$ окружности равен $14$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $PVG$ обозначили точку пересечения высот через $H$, центр описанной окружности через $O$. Площади треугольников $OHP$ и $OHV$ равны $5$ и $3$ соответственно. Найдите площадь треугольника $OHG$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ биссектриса $BE$ и медиана $AD$ равны и перпендикулярны. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $AB=\sqrt{13}$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ биссектрисы $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $O$. Известно, что $2\cdot AO=7\cdot OA_1$, $BO=2\cdot OB_1$. Найдите отношение высоты, опущенной из точки $A$, к радиусу вписанной в треугольник $ABC$ окружности.
Ответ:
Решение:
Высоты $AK$ и $CL$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Найдите величину угла $BAC$, если $AH=HK$ и $CH=2HL$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$, основание $AB$ которого лежит на оси абсцисс, проведены высоты $AM$, $BN$ и $CK$. Найдите длину основания $AB$, если известны координаты точек $M(2,2)$ и $N(4,4)$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AD$ и $BE$, пересекающиеся в точке $O$. Угол $DOC$ равен $58^\circ$. Найти углы треугольника $ABC$, если известно, что точки $D$, $O$, $E$ и $C$ лежат на одной окружности.
Ответ:
Решение:
Точки $M$, $N$, $P$ — основания высот, опущенных из вершин треугольника $ABC$ с углами $45^\circ$, $60^\circ$, $75^\circ$ на его стороны. Найти отношение площадей треугольников $MNP$ и $ABC$.
Ответ:
Решение: