Окружность радиуса $4$ касается сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$, а окружность радиуса $12$ внешним образом касается первой окружности и сторон $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$. Общая касательная к этим окружностям, не содержащая сторону $BC$, пересекает отрезки $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите площадь треугольника $AMN$, если $\angle AMN=30^\circ$, $\angle ANM=90^\circ$.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ боковая сторона $AB$ равна $2$, отрезок $AD$ является биссектрисой. Через точку $D$ проведена касательная $DH$ к окружности, описанной около треугольника $ADB$, точка $H$ лежит на стороне $AC$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $CD=CH\sqrt2$.
Ответ:
Решение:
В острый угол вписали 1-ю окружность радиуса 2020 мм, затем вписали 2-ю окружность меньшего радиуса так, что она касается предыдущей, после вписали в угол третью окружность так, что она касается второй, и т. д. Укажите номер окружности наибольшего радиуса среди тех, у которых радиус меньше 1 мм, если косинус данного угла равен $7/9$.
Ответ:
Решение:
Высота $BH$ треугольника $ABC$ является диаметром окружности, которая пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Прямые, касающиеся этой окружности в точках $D$ и $E$, пересекаются в точке $F$. Прямая $BF$ пересекает сторону $AC$ в точке $K$. Найдите отношение $AK:KC$ и длины отрезков $DF$ и $BK$, если $BH=12$, $AD=\dfrac{25}{13}$, $CE=\dfrac{27}{5}$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $\pi-\arcsin(8/17)$, а длина стороны $BC$ равна $8$. На продолжении $CB$ за точку $B$ взята точка $D$ так, что $BD=1$. Найти радиус окружности, проходящей через вершину $A$, касающейся прямой $BC$ в точке $D$ и касающейся окружности, описанной около треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB=BC$) вписан в окружность. Прямая $CD$, перпендикулярная $AB$, пересекает окружность в точке $P$. Касательная к окружности, проходящая через точку $P$, пересекает прямую $AB$ в точке $Q$. Найти длины отрезков $PA$ и $PQ$, если $AC=5$, $\angle ABC=2\arccos\sqrt{\frac56}$.
Ответ:
Решение:
Окружность касается сторон $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ в точках $A$ и $B$ соответственно. На дуге этой окружности, лежащей вне треугольника, расположена точка $K$ так, что расстояния от нее до продолжений сторон $AC$ и $BC$ равны 39 и 156 соответственно. Найти расстояние от точки $K$ до прямой $AB$.
Ответ:
Решение:
Окружности $C_1$ и $C_2$ внешне касаются в точке $A$. Прямая $\ell$ касается окружности $C_1$ в точке $B$, а окружности $C_2$ — в точке $D$. Через точку $A$ проведены две прямые: одна проходит через точку $B$ и пересекает окружность $C_2$ в точке $F$, а другая касается окружностей $C_1$ и $C_2$ и пересекает прямую $\ell$ в точке $E$. Найти радиусы окружностей $C_1$ и $C_2$, если $AF=3\sqrt{2}$, $BE=\sqrt{5}$.
Ответ:
Решение:
Окружность $C_1$ радиуса $2\sqrt{6}$ с центром $O_1$ и окружность $C_2$ радиуса $\sqrt{6}$ с центром $O_2$ расположены так, что $O_1O_2=\sqrt{70}$. Прямая $l_1$ касается окружностей в точках $A_1$ и $A_2$, а прямая $l_2$ — в точках $B_1$ и $B_2$. Окружности $C_1$ и $C_2$ лежат по одну сторону от прямой $l_1$ и по разные стороны от прямой $l_2$, $A_1\in C_1$, $B_1\in C_1$, $A_2\in C_2$, $B_2\in C_2$, точки $A_1$ и $B_1$ лежат по разные стороны относительно прямой $O_1O_2$. Через точку $B_2$ проведена прямая $l_3$, перпендикулярная прямой $l_2$. Прямая $l_1$ пересекает прямую $l_2$ в точке $A$, а прямую $l_3$ — в точке $B$. Найти $A_1A_2$, $B_1B_2$ и стороны треугольника $ABB_2$.
Ответ:
Решение:
Окружность с центром на стороне $AB$ равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=BC$) касается отрезка $AC$ в точке $F$, пересекает отрезок $BC$ в точке $G$, проходит через точку $B$ и пересекает отрезок $AB$ в точке $E$, причем $AE=a$, $\angle BFG=\gamma$. Найти радиус окружности.
Ответ:
Решение:
Окружность $\omega$ с центром в точке $O$ на стороне $AC$ треугольника $ABC$ касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Известно, что $AD=2CE$, а угол $DOE$ равен $\mathrm{arcctg}\,\dfrac13$. Найти углы треугольника $ABC$ и отношение его площади к площади круга, ограниченного окружностью $\omega$.
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABKD$ вписан в окружность $\Omega$ радиуса $\sqrt{17}$. На стороне $KD$ выбрана точка $C$ так, что $\angle BCD=90^\circ$. Окружность $\omega$ радиуса $4$, описанная вокруг треугольника $BCK$, касается отрезка $AD$ и прямой $AB$. Найдите длину отрезка $AB$, угол $BAD$ и площадь четырёхугольника $ABCD$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ сторона $AC$ равна 6, а угол $ACB$ равен $120^\circ$. Окружность $\Omega$ радиуса $\sqrt3$ касается сторон $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $L$ соответственно и пересекает сторону $AB$ в точках $M$ и $N$ ($M$ лежит между $A$ и $N$) так, что отрезок $MK$ параллелен $AC$. Найдите длины отрезков $CL$, $MK$, $AB$ и площадь треугольника $ANL$.
Ответ:
Решение:
Окружности $\omega$ и $\Omega$ касаются внешним образом в точке $F$, а их общая внешняя касательная касается окружностей $\omega$ и $\Omega$ соответственно в точках $A$ и $B$. Прямая $\ell$ проходит через точку $B$, вторично пересекает окружность $\Omega$ в точке $C$, а также пересекает $\omega$ в точках $D$ и $E$ (точка $D$ расположена между $C$ и $E$). Общая касательная окружностей, проходящая через точку $F$, пересекает прямые $AB$ и $BE$ в точках $P$ и $H$ соответственно (точка $H$ лежит между точками $P$ и $F$). Известно, что $BC=60$, $DH=HC=2$. Найдите длину отрезка $HP$ и радиусы обеих окружностей.
Ответ:
Решение:
Окружности $\Omega$ и $\omega$ касаются внешним образом в точке $F$, а их общая внешняя касательная касается окружностей $\Omega$ и $\omega$ соответственно в точках $A$ и $B$. Прямая $\ell$ проходит через точку $B$, вторично пересекает окружность $\omega$ в точке $C$, а также пересекает $\Omega$ в точках $D$ и $E$ (точка $D$ расположена между $C$ и $E$). Общая касательная окружностей, проходящая через точку $F$, пересекает прямые $AB$ и $BE$ в точках $P$ и $H$ соответственно (точка $F$ лежит между точками $P$ и $H$). Известно, что $BC=42$, $DH=HC=4$. Найдите длину отрезка $HP$ и радиусы обеих окружностей.
Ответ:
Решение:
а) Две параллельные прямые $\ell_1$ и $\ell_2$ касаются окружности $\omega_1$ с центром $O_1$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Окружность $\omega_2$ с центром $O_2$ касается прямой $\ell_1$ в точке $D$, пересекает прямую $\ell_2$ в точках $B$ и $E$ и пересекает вторично окружность $\omega_1$ в точке $C$ (при этом точка $O_2$ лежит между прямыми $\ell_1$ и $\ell_2$). Известно, что отношение площади четырёхугольника $BO_1CO_2$ к площади треугольника $O_2BE$ равно $\frac32$. Найдите отношение радиусов окружностей $\omega_2$ и $\omega_1$.
б) Найдите эти радиусы, если дополнительно известно, что $BD=1$.
б) Найдите эти радиусы, если дополнительно известно, что $BD=1$.
Ответ:
Решение:
а) Две параллельные прямые $\ell_1$ и $\ell_2$ касаются окружности $\omega_1$ с центром $O_1$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Окружность $\omega_2$ с центром $O_2$ касается прямой $\ell_1$ в точке $D$, пересекает прямую $\ell_2$ в точках $B$ и $E$, а также вторично пересекает окружность $\omega_1$ в точке $C$ (при этом точка $O_2$ лежит между прямыми $\ell_1$ и $\ell_2$). Известно, что отношение площади четырёхугольника $BO_1CO_2$ к площади треугольника $O_2BE$ равно 2. Найдите отношение радиусов окружностей $\omega_2$ и $\omega_1$.
б) Найдите эти радиусы, если дополнительно известно, что $BD=2$.
б) Найдите эти радиусы, если дополнительно известно, что $BD=2$.
Ответ:
Решение:
Две параллельные прямые $\ell_1$ и $\ell_2$ касаются окружности $\omega_1$ c центром $O_1$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Окружность $\omega_2$ с центром $O_2$ касается прямой $\ell_1$ в точке $D$, пересекает прямую $\ell_2$ в точках $B$ и $E$, а также вторично пересекает окружность $\omega_1$ в точке $C$ (при этом точка $O_2$ лежит между прямыми $\ell_1$ и $\ell_2$). Известно, что отношение площади четырёхугольника $BO_1CO_2$ к площади треугольника $O_2BE$ равно $\frac54$. Найдите отношение радиусов окружностей $\omega_2$ и $\omega_1$.
Ответ:
Решение:
Остроугольный треугольник $ABC$ вписан в окружность $\omega$ с центром $O$. Окружность, проходящая через точки $A$, $O$ и $C$, пересекает отрезок $BC$ в точке $P$. Касательные к $\omega$, проведённые через точки $A$ и $C$, пересекаются в точке $T$. Отрезок $TP$ пересекает сторону $AC$ в точке $K$. Известно, что площади треугольников $APK$ и $CPK$ равны соответственно 6 и 4.
а) Найдите площадь треугольника $ABC$.
б) Пусть дополнительно известно, что $\angle ABC=\operatorname{arctg}\frac75$. Найдите $AC$.
а) Найдите площадь треугольника $ABC$.
б) Пусть дополнительно известно, что $\angle ABC=\operatorname{arctg}\frac75$. Найдите $AC$.
Ответ:
Решение:
Окружности $\Omega$ и $\omega$ касаются в точке $A$ внутренним образом. Отрезок $AB$ — диаметр большей окружности $\Omega$, а хорда $BC$ окружности $\Omega$ касается $\omega$ в точке $D$. Луч $AD$ повторно пересекает $\Omega$ в точке $E$. Прямая, проходящая через точку $E$ перпендикулярно $BC$, повторно пересекает $\Omega$ в точке $F$. Найдите радиусы окружностей, угол $AFE$ и площадь треугольника $AEF$, если известно, что $CD=8$, $BD=17$.
Ответ:
Решение: