Шестиугольник, все углы которого меньше 180 градусов, таков, что каждый треугольник, образованный тремя идущими подряд его вершинами, имеет площадь 1. Докажите, что площадь этого шестиугольника не меньше 6.
Ответ:
Решение:
Через центр прямоугольника провели две взаимно перпендикулярные прямые, не параллельные его сторонам. Оказалось, что они делят прямоугольник на четыре части равной площади. Может ли этот прямоугольник не быть квадратом?
Ответ:
Решение:
Продолжения медиан $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ треугольника $ABC$ пересекают его описанную окружность в точках $A_0$, $B_0$ и $C_0$ соответственно. Оказалось, что площади треугольников $ABC_0$, $AB_0C$ и $A_0BC$ равны. Докажите, что треугольник $ABC$ равносторонний.
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности $\omega$. Докажите, что диаметр окружности $\omega$ не превосходит длины отрезка, соединяющего середины сторон $BC$ и $AD$.
Ответ:
Решение:
На отрезке $XY$ как на диаметре построена полуокружность и выбрана произвольная точка $Z$ на этом отрезке. Девять лучей из точки $Z$ делят развернутый угол $XZY$ на 10 равных частей и пересекают полуокружность в точках $A_1$, $A_2$, …, $A_9$ соответственно (в порядке обхода от $X$ к $Y$). Докажите, что сумма площадей треугольников $A_2ZA_3$ и $A_7ZA_8$ равна площади четырехугольника $A_2A_3A_7A_8$.
Ответ:
Решение:
Серединные перпендикуляры к сторонам $AB$ и $BC$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекают стороны $CD$ и $DA$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Оказалось, что $\angle APB=\angle BQC$. Внутри четырёхугольника выбрана точка $X$ такая, что $QX\parallel AB$ и $PX\parallel BC$. Докажите, что прямая $BX$ делит диагональ $AC$ пополам.
Ответ:
Решение:
Прямая пересекает основание $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ в точке $D$, боковую сторону $AB$ в точке $E$ и луч $CB$ в точке $F$, причём $\angle ADE=\angle CDB$. Докажите, что площади треугольников $BCE$ и $AEF$ равны.
Ответ:
Решение:
Точки $M$ и $N$ — середины сторон $BC$ и $AD$ четырёхугольника $ABCD$. Известно, что $\angle B=150^\circ$, $\angle C=90^\circ$ и $AB=CD$. Найдите угол между прямыми $MN$ и $BC$.
Ответ:
Решение:
Дан четырёхугольник $ABCD$, причём \[AD=BC,\quad \angle DAC=97^\circ,\quad \angle CBD=83^\circ\quad\text{и}\quad \angle BCD=65^\circ.\] Найдите $\angle ACD$ (ответ дайте в градусах).
Ответ:
Решение:
Внутри треугольника $ABC$ расположена точка $P$. На стороне $BC$ выбрана точка $H$, не совпадающая с серединой стороны. Оказалось, что биссектриса угла $AHP$ перпендикулярна стороне $BC$, угол $ABC$ равен углу $HCP$ и $BP=AC$. Докажите, что $BH=AH$.
Ответ:
Решение:
На плоскости отмечены 5 точек. Докажите, что можно выбрать некоторые из них и переместить их так, чтобы расстояние между любыми двумя перемещёнными точками не изменилось, а в результате на плоскости осталось множество из 5 точек, симметричное относительно некоторой прямой.
Ответ:
Решение:
Прямые, содержащие стороны данного остроугольного треугольника $T$, покрасили в красный, зелёный и синий цвета. Затем эти прямые повернули вокруг центра описанной окружности данного треугольника по часовой стрелке на угол $120^\circ$ (прямая сохраняет свой цвет после поворота). Докажите, что три точки пересечения одноцветных прямых являются вершинами треугольника, равного $T$.
Ответ:
Решение:
Биссектриса угла $A$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекает сторону $CD$ в точке $K$. Оказалось, что $DK=BC$ и $KC+AB=AD$. Докажите, что $\angle BCD=\angle ADC$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном неравнобедренном треугольнике $ABC$ проведены медиана $AM$ и высота $AH$. На прямых $AB$ и $AC$ отмечены точки $Q$ и $P$ соответственно так, что $QM\perp AC$ и $PM\perp AB$. Окружность, описанная около треугольника $PMQ$, пересекает прямую $BC$ вторично в точке $X$. Докажите, что $BH=CX$.
Ответ:
Решение:
Дана трапеция $ABCD$, в которой $AD\parallel BC$, а лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $G$. Общие внешние касательные к окружностям, описанным около треугольников $ABC$ и $ACD$, пересекаются в точке $E$. Общие внешние касательные к окружностям, описанным около треугольников $ABD$ и $BCD$, пересекаются в точке $F$. Докажите, что точки $E$, $F$ и $G$ лежат на одной прямой.
Ответ:
Решение:
На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ выбраны точки $P$ и $Q$ соответственно. Отрезки $CP$ и $AQ$ пересекаются в точке $R$. Оказалось, что $AR=CR=PR+QR$. Докажите, что из отрезков $AP$, $CQ$ и $PQ$ можно составить треугольник, один из углов которого равен углу $B$.
Ответ:
Решение:
Внутри треугольника $ABC$ выбрана точка $K$ такая, что \[ \angle KCB+\angle ACB=\angle KBC+\angle ABC=120^\circ. \] На продолжении стороны $AB$ за точку $B$ выбрана точка $P$, а на продолжении стороны $AC$ за точку $C$ — точка $Q$ таким образом, что $BK=BP$ и $CK=CQ$. Докажите, что $BQ=CP$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ медиана, выходящая из вершины $A$, перпендикулярна биссектрисе угла $B$, а медиана, выходящая из вершины $B$, перпендикулярна биссектрисе угла $A$. Известно, что сторона $AB=1$. Найдите периметр треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $134^\circ$, а высота, опущенная из вершины $A$, в два раза меньше биссектрисы угла $A$. Найдите угол $C$. Ответ выразите в градусах.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ провели медиану $AM$. Найдите угол $AMC$, если углы $BAC$ и $BCA$ равны $45^\circ$ и $30^\circ$ соответственно.
Ответ:
Решение: