Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $AC=3$ и $BC=14$. Построим треугольник $A_1B_1C_1$, последовательно переместив точку $A$ на некоторое расстояние параллельно отрезку $BC$ (точка $A_1$), затем точку $B$ — параллельно отрезку $A_1C$ (точка $B_1$) и, наконец, точку $C$ — параллельно отрезку $A_1B_1$ (точка $C_1$). Чему равна длина отрезка $B_1C_1$, если оказалось, что угол $A_1B_1C_1$ прямой и $A_1B_1=2$?
Ответ:
Решение:
Точка $M$ расположена внутри треугольника $ABC$; точки $H_1$, $H_2$, $H_3$ — её проекции на стороны $AB$, $BC$, $AC$ соответственно. Известно, что $AB=AC=7\sqrt3$, $BC=2\sqrt{26}$, а площади четырёхугольников $BH_1MH_2$, $CH_2MH_3$, $AH_1MH_3$ равны между собой. Найдите $MH_2$.
Ответ:
Решение:
Точки $E, F, G, H$ — середины сторон $AB, BC, CD, DA$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ соответственно, а точки $J$, $K$ — середины его диагоналей $BD$ и $AC$ соответственно. Прямая, проходящая через точку $J$ параллельно $AC$, и прямая, проходящая через точку $K$ параллельно $BD$, пересекаются в точке $N$. Найдите площадь четырёхугольника $AHNE$, если известно, что $3S(DGJH)+5S(EJFB)=11$ (через $S(\Phi)$ обозначена площадь фигуры $\Phi$).
Ответ:
Решение:
На сторонах параллелограмма $ABCD$ отмечены точки $E, F, G$ и $H$ и соединены отрезками друг с другом и с вершинами параллелограмма, как показано на рисунке. Полученные в результате разбиения параллелограмма многоугольника раскрасили в шахматном порядке. Для всех частей, закрашенных серым цветом, кроме одной, Петя отметил на рисунке их площади $y_1, \ldots, y_6$. Найдите площадь $y_7$ оставшейся серой части.
Ответ:
Решение:
На сторонах параллелограмма $ABCD$ отмечены точки $E,F,G,H,K$ и $L$, как показано на рисунке. Петя соединил некоторые из точек отрезками и раскрасил полученные многоугольники в шахматном порядке. После этого он написал на всех закрашенных многоугольниках, кроме одного, их площади $x_1,\ldots,x_{11}$. Найдите оставшуюся площадь $x_{12}$.
Ответ:
Решение:
На двух параллельных прямых взяты точки $A,B,C,D,X$, как показано на рисунке. Вася нашёл отношение $BC:AD=x$, после чего отметил точки пересечения медиан $P,Q,R$ соответственно треугольников $BAX$, $CDX$ и $AXD$. Петя вычислил площадь треугольника $PQR$: она оказалась равна $S$. Найдите площадь треугольника $AXD$.
Ответ:
Решение:
На сторонах $BC$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$ отмечены точки $E$ и $F$, а на сторонах $AD$ и $AB$ — их середины $M$ и $N$ соответственно. Петя соединил некоторые из точек и закрасил четыре из полученных многоугольников, как показано на рисунке, после чего на двух из них написал их площади $y$ и $z$, а две другие неизвестные отметил $x$ и $w$. Найдите наименьшее возможное значение разности площадей $x-w$.
Ответ:
Решение:
На гипотенузе прямоугольного треугольника, у которого один катет в три раза больше другого, во внешнюю сторону построен правильный треугольник. В каком отношении биссектриса прямого угла делит его площадь?
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ площади треугольников $ABD$ и $BCD$ равны, а площадь $ACD$ равна половине площади $ABD$. Найдите длину отрезка $CM$, где $M$ — середина стороны $AB$, если известно, что $AD=12$.
Ответ:
Решение:
На стороне $AC$ треугольника $ABC$ взяты точки $E$ и $K$, причём точка $E$ лежит между точками $A$ и $K$ и $AE:EK:KC=3:5:4$. Медиана $AD$ пересекает отрезки $BE$ и $BK$ в точках $L$ и $M$ соответственно. Найдите отношение площадей треугольников $BLM$ и $ABC$.
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Сумма площадей треугольников $AOB$ и $COD$ равна сумме площадей треугольников $BOC$ и $AOD$, а площадь треугольника $BOC$ вдвое больше, чем площадь треугольника $AOB$. Медианы $BK$ и $BL$ треугольников $ABD$ и $DBC$ пересекают отрезок $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найти $KL$, если $NC=4$.
Ответ:
Решение:
Квадрат $ABCD$ со стороной $9$ и квадрат $DEFG$ со стороной $\pi$ имеют общую вершину $D$, при этом точка $E$ лежит на отрезке $CD$. Найдите наибольшее возможное значение площади параллелограмма $AMNF$, если точка $C$ лежит на отрезке $MN$ и делит его в отношении $1:\pi$.
Ответ:
Решение:
Даны четыре палочки. Оказалось, что из любых трёх из них можно сложить треугольник, при этом площади всех четырёх треугольников равны. Обязательно ли все палочки одинаковой длины?
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ провели высоту $CH$. Окружность, проходящая через точки $C$ и $H$, повторно пересекает отрезки $AC$, $CB$ и $BH$ в точках $Q$, $P$ и $R$ соответственно. Отрезки $HP$ и $CR$ пересекаются в точке $T$. Что больше: площадь треугольника $CPT$ или сумма площадей треугольников $CQH$ и $HTR$?
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Площади треугольников $AOB$ и $COD$ равны. Найдите площадь треугольника $AOB$, если известно, что $AB=13$, $BC=10$, $CD=15$, $DA=24$.
Ответ:
Решение:
Внутри выпуклого четырехугольника пять прямых делят его на шесть четырехугольников, а две его противоположные стороны — на шесть одинаковых частей каждую. Найдите площадь четвертого из полученных четырехугольников, если сумма площадей первого, пятого и шестого равна 60.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$ с углом $B$, равным $60^\circ$. На продолжениях сторон $AB$, $CB$ за точку $B$ взяты точки $K$, $L$ соответственно так, что $BK:AB=2:1$, $BL:CB=3:1$. На продолжении медианы $BM$ за точку $M$ взята точка $N$, причем $BN:BM=6:1$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если площадь треугольника $KLN$ равна $126\sqrt3$, а расстояние от точки $M$ до точки касания вписанной в треугольник $ABC$ окружности со стороной $AC$ равно 1.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$ с углом $B$, равным $60^\circ$. На продолжениях сторон $AB$, $CB$ и медианы $BM$ за точку $B$ взяты точки $K$, $L$, $N$ соответственно так, что $BK:AB=3:1$, $BL:CB=5:1$, $BN:BM=4:1$. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$, если площадь треугольника $KLN$ равна $6\sqrt3$, а расстояние от точки $M$ до точки касания вписанной в треугольник $ABC$ окружности со стороной $AC$ равно $1$.
Ответ:
Решение:
Для улучшения жилищных условий горожан в некоторых городах реализуется программа реновации — замена не подлежащего сохранению жилищного фонда путем его сноса и капитального строительства на высвобождаемой территории. Как правило, разбор старых домов и расчистка площадки под новое строительство происходит на ограниченной территории. Поэтому нужна техника (вращающиеся экскаваторы), которая могла бы расчистить наибольшую площадь с наименьшим количеством перемещений.
На рисунке изображена схема рабочей зоны и схема перемещений экскаватора. Встав в начальную точку $E$, экскаватор первым делом очищает ближнюю к себе площадку (на ней в основном находится металлический лом). Эта площадка представляет из себя сектор окружности, ограниченный большой дугой $FG$ окружности с центром в точке $E$ и радиусом $2\sqrt2$ м, а также отрезками ее радиусов $EF$ и $EG$. Затем экскаватор перемещается в точку $O$ и очищает дальнюю от себя площадку (на ней в основном находится кирпичный лом). Эта площадка с внешней стороны ограничена большой дугой $CD$ окружности c центром в точке $O$ и радиусом 6 м, отрезками $CG$ и $FD$ (точки $F$ и $G$ находятся на соответствующих радиусах $OC$ и $OD$), а с внутренней стороны — большой дугой $FG$ первой окружности с центром в точке $E$.
Определите площадь под кирпичным ломом (без металлических остатков), если точка $O$ находится в 2 метрах от точки $E$ по направлению к центру металлического завала, угол $EOD$ равен $45^\circ$.
На рисунке изображена схема рабочей зоны и схема перемещений экскаватора. Встав в начальную точку $E$, экскаватор первым делом очищает ближнюю к себе площадку (на ней в основном находится металлический лом). Эта площадка представляет из себя сектор окружности, ограниченный большой дугой $FG$ окружности с центром в точке $E$ и радиусом $2\sqrt2$ м, а также отрезками ее радиусов $EF$ и $EG$. Затем экскаватор перемещается в точку $O$ и очищает дальнюю от себя площадку (на ней в основном находится кирпичный лом). Эта площадка с внешней стороны ограничена большой дугой $CD$ окружности c центром в точке $O$ и радиусом 6 м, отрезками $CG$ и $FD$ (точки $F$ и $G$ находятся на соответствующих радиусах $OC$ и $OD$), а с внутренней стороны — большой дугой $FG$ первой окружности с центром в точке $E$.
Определите площадь под кирпичным ломом (без металлических остатков), если точка $O$ находится в 2 метрах от точки $E$ по направлению к центру металлического завала, угол $EOD$ равен $45^\circ$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $MNK$ на стороне $MN$ взята точка $P$ так, что $MP:PN=2:3$, а на стороне $NK$ отмечена точка $Q$ так, что $NQ:QK=4:5$. Прямые $KP$, $MQ$ пересекаются в точке $O$. Найти площадь треугольника $KOQ$, если известно, что площадь треугольника $MOP$ равна 48.
Ответ:
Решение: