Признаки подобия. Обобщённая теорема Фалеса. Теорема Чевы. Теорема Менелая.
В остроугольном неравнобедренном треугольнике $ABC$ проведена высота $AH$, медиана $AM$, а также отмечен центр $O$ его описанной окружности $\omega$. Отрезки $OH$ и $AM$ пересекаются в точке $D$, прямые $AB$ и $CD$ — в точке $E$, прямые $BD$ и $AC$ — в точке $F$. Лучи $EH$ и $FH$ пересекают окружность $\omega$ в точках $X$ и $Y$. Докажите, что прямые $BY$, $CX$ и $AH$ пересекаются в одной точке.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ сторона $AB$ больше стороны $BC$. На продолжении стороны $BC$ за точку $C$ отметили точку $N$ так, что $2BN=AB+BC$. Пусть $BS$ — биссектриса треугольника $ABC$, $M$ — середина стороны $AC$, а $L$ — такая точка на отрезке $BS$, что $ML\parallel AB$. Докажите, что $2LN=AC$.
Ответ:
Решение:
$CK$ — биссектриса треугольника $ABC$. На сторонах $BC$ и $AC$ выбраны точки $L$ и $T$ соответственно такие, что $CT=BL$ и $TL=BK$. Докажите, что треугольник с вершинами в точках $C$, $L$ и $T$ подобен исходному.
Ответ:
Решение:
Вершина $F$ параллелограмма $ACEF$ лежит на стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$. Известно, что $AC=AD$ и $AE=2CD$. Докажите, что $\angle CDE=\angle BEF$.
Ответ:
Решение:
Дан выпуклый четырёхугольник $ABSC$. На диагонали $BC$ выбрана точка $P$ так, что $AP=CP\gt BP$. Точка $Q$ симметрична точке $P$ относительно середины диагонали $BC$, а точка $R$ симметрична точке $Q$ относительно прямой $AC$. Оказалось, что $\angle SAB=\angle QAC$ и $\angle SBC=\angle BAC$. Докажите, что $SA=SR$.
Ответ:
Решение:
На средней линии равностороннего треугольника $ABC$, параллельной стороне $BC$, взята точка $D$. Точка $E$ на продолжении стороны $BA$ за точку $A$ такова, что $\angle ECA=\angle DCA$. Точка $F$ на продолжении стороны $CA$ за точку $A$ такова, что $\angle FBA=\angle DBA$. Докажите, что точка $A$ лежит на средней линии треугольника $DEF$, параллельной стороне $EF$.
Ответ:
Решение:
$CL$ — биссектриса треугольника $ABC$. $CLBK$ — параллелограмм. Прямая $AK$ пересекает отрезок $CL$ в точке $P$. Оказалось, что точка $P$ равноудалена от диагоналей параллелограмма $CLBK$. Докажите, что $AK\geqslant CL$.
Ответ:
Решение:
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $D$. На стороне $AB$ выбрана точка $P$. Отрезки $PC$ и $AD$ пересекаются в точке $Q$. Точка $R$ — середина отрезка $AP$. Докажите, что существует фиксированная точка $X$, через которую прямая $RQ$ проходит при любом выборе точки $P$.
Ответ:
Решение:
Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$, в котором $AB=BC=CD=4$. На сторонах $AB$ и $CD$ выбраны точки $K$ и $L$ соответственно таким образом, что $AK=DL=1$. На стороне $AD$ снаружи четырёхугольника построен треугольник $AMD$, в котором $AM=MD=2$. Оказалось, что $KL=2$. Докажите, что $BM=CM$.
Ответ:
Решение: