Признаки подобия. Обобщённая теорема Фалеса. Теорема Чевы. Теорема Менелая.
В треугольнике $ABC$ проведены высота $BH$ и медианы $AM$ и $CK$. Докажите, что треугольники $KHM$ и $ABC$ подобны.
Ответ:
Решение:
Два квадрата имеют общую вершину. Найдите отношение отрезков $AB$ и $CD$, показанных на рисунке.
Ответ:
Решение:
Дан тупоугольный треугольник $ABC$ с тупым углом $C$. На его сторонах $AB$ и $BC$ отмечены точки $P$ и $Q$ соответственно так, что $\angle ACP=\angle CPQ=90^\circ$. Найдите длину отрезка $PQ$, если известно, что $AC=25$, $CP=20$, $\angle APC=\angle A+\angle B$.
Ответ:
Решение:
Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Точка $P$ такова, что $DOCP$ — тоже параллелограмм ($CD$ — его диагональ). Обозначим через $Q$ точку пересечения $BP$ и $AC$, а через $R$ — точку пересечения $DQ$ и $CP$. Докажите, что $PC=CR$.
Ответ:
Решение:
Внутри трапеции $ABCD$ ($BC\parallel AD$), где $AD=2BC$, взята точка $F$, для которой $AB=FB$. Точка $M$ — середина отрезка $FD$. Докажите, что $CM\perp FA$.
Ответ:
Решение:
Дана равнобокая трапеция $ABCD$. Рассматривают точки $Q$ и $P$ на боковых сторонах $AB$ и $CD$ соответственно, для которых $CP=AQ$. Докажите, что середины всех таких отрезков $PQ$ лежат на одной прямой.
Ответ:
Решение:
Внутри острого угла расположен выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Оказалось, что для каждой из двух прямых, содержащих стороны угла, выполняется условие: сумма расстояний от вершин $A$ и $C$ до этой прямой равна сумме расстояний от вершин $B$ и $D$ до этой же прямой. Докажите, что $ABCD$ — параллелограмм.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$, точка $M$ — середина стороны $BC$. Пусть $\ell$ — биссектриса внешнего угла $A$ треугольника $ABC$. Прямая, проходящая через $M$ и параллельная $\ell$, пересекает сторону $AB$ в точке $K$. Найдите длину отрезка $AK$, если $AB=23$ и $AC=8$.
Ответ:
Решение:
Точка $M$ — середина основания $BC$ трапеции $ABCD$. На основании $AD$ выбрана точка $P$. Луч $PM$ пересекает луч $DC$ в точке $Q$. Перпендикуляр к основанию $AD$, проведённый через точку $P$, пересекает отрезок $BQ$ в точке $K$.
Известно, что $\angle KQD=64^\circ$ и $\angle KDQ=38^\circ$. Сколько градусов составляет угол $KBC$?
Известно, что $\angle KQD=64^\circ$ и $\angle KDQ=38^\circ$. Сколько градусов составляет угол $KBC$?
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $A$ проведена высота $AH$. На продолжении отрезка $HA$ за точку $A$ нашлась точка $D$ такая, что $\angle DBA=\angle CBA$. Найдите длину отрезка $BD$, если известно, что $BC=7$ и $AD=12$.
Ответ:
Решение:
Во вписанном четырехугольнике $ABCD$ на стороне $AD$ отметили такую точку $X$, что $AX=CD$ и $\angle BXD=\angle CDA$. Найдите $BX$, если известно, что $AB=8$, $BC=10$, $CD=3$.
Ответ:
Решение:
Могут ли медиана и биссектриса, проведенные из вершины $A$ остроугольного треугольника $ABC$, делить высоту $BH$ этого треугольника на три равные части?
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ биссектриса угла $B$ пересекает основание $AD$ в точке $L$. Точка $M$ — середина стороны $CD$. Прямая, параллельная $BM$ и проходящая через $L$, пересекает сторону $AB$ в точке $K$. Оказалось, что угол $BLM$ — прямой. Найдите отношение $BK/KA$.
Ответ:
Решение:
На сторонах $AB$, $BC$, $CA$ равностороннего треугольника $ABC$ выбраны точки $K$, $L$, $M$ соответственно так, что $AK=1$, $BL=2$, $CM=3$. Известно, что $\angle MKL=60^\circ$. Найдите сторону треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$. Точки $M$ и $N$ — середины отрезков $AH$ и $CH$ соответственно. В окружности $\Omega$, описанной около треугольника $BMN$, проведён диаметр $BB'$. Докажите, что $AB'=CB'$.
Ответ:
Решение:
Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Оказалось, что точка пересечения медиан треугольника $ABD$ лежит на биссектрисе угла $BCD$. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника $ABC$ лежит на биссектрисе угла $ADC$.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ диагональ $BD$ равна основанию $AD$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E$. Точка $F$ на отрезке $AD$ выбрана так, что $EF\parallel CD$. Докажите, что $BE=DF$.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$, в котором $\angle A=42^\circ$ и $AB\lt AC$. Точка $K$ на стороне $AC$ такова, что $AB=CK$. Точки $P$ и $Q$ — середины отрезков $AK$ и $BC$ соответственно. Сколько градусов составляет угол $ACB$, если известно, что $\angle PQC=110^\circ$?
Ответ:
Решение:
Диагонали трапеции $ABCD$ ($AD\parallel BC$) пересекаются в точке $K$. Внутри треугольника $ABK$ нашлась такая точка $M$, что $\angle MBC=\angle MAD$, $\angle MCB=\angle MDA$. Докажите, что прямая $MK$ параллельна основаниям трапеции.
Ответ:
Решение:
Внутри параллелограмма $ABCD$ отмечена точка $E$, лежащая на биссектрисе угла $A$, и точка $F$, лежащая на биссектрисе угла $C$. Известно, что середина отрезка $BF$ лежит на отрезке $AE$. Докажите, что середина отрезка $DE$ лежит на прямой $CF$.
Ответ:
Решение: