Числа $a, b, c$ удовлетворяют равенству \[ 10\bigl(a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)\bigr)=a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b), \] причём обе части равенства ненулевые. Найдите наибольшее возможное значение суммы \[ S=a+b+c. \]
Ответ:
Решение:
Про действительные числа $x$, $y$, $z$ известно, что \[ xy+z=yz+x=zx+y. \] Докажите, что какие-то два из чисел $x$, $y$, $z$ равны.
Ответ:
Решение:
Действительные числа $a$, $b$, $c$, $d$ таковы, что \[\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{c}{d}+\frac{d}{c}.\] Докажите, что произведение каких-то двух чисел из $a$, $b$, $c$, $d$ равно произведению двух других.
Ответ:
Решение:
Некоторые числа $x$ и $y$ удовлетворяют соотношению \[ 7(x^3+y^3)+11(x+y)^3-63xy+486=0. \] Найдите максимально возможное значение суммы $x+y$.
Ответ:
Решение:
Найдите значение выражения \[ \left(\dfrac{3}{2x-y}-\dfrac{2}{2x+y}-\dfrac{1}{2x-5y}\right):\dfrac{y^2}{4x^2-y^2} \] при $x=\frac43$, $y=\frac73$.
Ответ:
Решение:
Числа $a$, $b$ и $c$ таковы, что \[ a+b+c=13 \quad\text{и}\quad \dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}=0{,}4. \] Найдите значение выражения \[ \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}. \]
Ответ:
Решение:
Найдите значение выражения \[ \dfrac{1}{a^2-ac-ab+bc}+\dfrac{2}{b^2-ab-bc+ac}+\dfrac{1}{c^2-ac-bc+ab} \] при $a=1{,}67$, $b=1{,}71$ и $c=0{,}46$.
Ответ:
Решение:
Известно, что $\frac{a}{b+c-3a}=\frac{b}{a+c-3b}=\frac{c}{a+b-3c}$. Найдите все возможные различные значения выражения $\frac{3b}{a}+\frac{3c}{a}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}$. В ответ запишите сумму найденных значений.
Ответ:
Решение:
Ненулевые действительные числа $x$, $y$, $z$ удовлетворяют равенствам \[ 3x+2y=z\quad\text{и}\quad\dfrac3x+\dfrac1y=\dfrac2z. \] Найдите наибольшее возможное значение выражения $\dfrac{3x^2-4y^2-z^2}{x^2-6y^2}$.
Ответ:
Решение:
Петя загадал такие вещественные числа $x$, $y$, $z$, что выражения \[\dfrac{x(y-z)}{y(z-x)}\quad\text{и}\quad\dfrac{2y(z-x)}{z(y-x)}\] принимают одно и то же значение $A$. Найдите все возможные значения $A$, если известно, что их не менее двух.
Ответ:
Решение:
Ненулевые числа $a$, $b$, $c$ таковы, что \[ \frac{a}{b+c-5a}=\frac{b}{a+c-5b}=\frac{c}{a+b-5c}. \] Какое наименьшее значение может принимать выражение $\dfrac{2b}{a}+\dfrac{2c}{a}+\dfrac{5a}{b}+\dfrac{5c}{b}$?
Ответ:
Решение:
Найдите значение выражения \[ \dfrac{x^2-xy+4x-5y-5}{x^2-4y^2}\cdot\dfrac{x^3-2x^2y-5x^2+10xy+25x-50y}{x^3+125} \] при $x=5{,}4$ и $y=2{,}3$.
Ответ:
Решение:
Известно, что $\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta=8$, а $\operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{ctg}\beta=40$. Найдите $\operatorname{tg}(\alpha+\beta)$.
Ответ:
Решение:
Известно, что $\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta=16$, а $\operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{ctg}\beta=18$. Найдите $\operatorname{tg}(\alpha+\beta)$.
Ответ:
Решение:
Вычислите $(\sin\alpha-\cos\alpha)(\sin\beta-\cos\beta)$, если $\sin(\alpha+\beta)=0{,}8$ и $\cos(\alpha-\beta)=0{,}3$.
Ответ:
Решение:
Вычислите $\operatorname{tg}^2x+\operatorname{ctg}^2x$, если $\operatorname{tg}x-\operatorname{ctg}x=-3$.
Ответ:
Решение:
Известно, что $\sin x=2\cos y-\dfrac52\sin y$, $\cos x=2\sin y-\dfrac52\cos y$. Найдите $\sin2y$.
Ответ:
Решение:
Даны два числа $x\lt y$. Оказалось, что $\sin(\pi x)+\sin(\pi y)=\dfrac{4\sqrt2}{5}$, $\cos(\pi x)+\cos(\pi y)=\dfrac{3\sqrt2}{5}$. Какое наименьшее значение может принимать величина $y-x$?
Ответ:
Решение:
Даны два числа $x\lt y$. Оказалось, что $\sin(\pi x)+\cos(\pi y)=\dfrac{3\sqrt2}{5}$, $\cos(\pi x)-\sin(\pi y)=\dfrac{4\sqrt2}{5}$. Какое наименьшее значение может принимать величина $y-x$?
Ответ:
Решение:
Найдите значение выражения \[ \cos^4\dfrac{5\pi}{24}+\cos^4\dfrac{11\pi}{24}+\sin^4\dfrac{13\pi}{24}+\sin^4\dfrac{19\pi}{24}. \]
Ответ:
Решение: