Маша взяла четыре различных положительных числа и записала шесть их попарных произведений в ряд в порядке возрастания. Могли ли все пять разностей между соседними числами этого ряда оказаться одинаковыми?
Ответ:
Решение:
По кругу расставлены 2025 ненулевых чисел. Может ли для любых пяти подряд идущих чисел $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ быть выполнено равенство $ab+de=bd$?
Ответ:
Решение:
Разность квадратов двух чисел равна 6, а если уменьшить каждое из этих чисел на 2, то разность их квадратов станет равна 18. Чему равна сумма этих чисел?
Ответ:
Решение:
Найдите любое натуральное $x$ такое, что значение выражения $2^x+2^8+2^{11}$ является квадратом натурального числа.
Ответ:
Решение:
Про положительные числа $a$ и $b$ известно, что \[ a^2+ab=36 \quad\text{и}\quad b^2+ab=64. \] Найдите значение $a+b$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Три числа таковы, что куб суммы любых двух из них равен сумме их кубов. Докажите, что среди этих чисел есть нуль.
Ответ:
Решение:
Существует ли такое натуральное число $n$, большее 1, что значение выражения $\sqrt{n\sqrt{n\sqrt{n}}}$ является натуральным числом?
Ответ:
Решение:
При каком наименьшем натуральном $x$ выражение \[\sqrt{29+\sqrt{x}}+\sqrt{29-\sqrt{x}}\] является целым?
Ответ:
Решение:
Не используя калькулятора, определите знак числа \[(\cos(\cos 1)-\cos 1)\,(\sin(\sin 1)-\sin 1).\]
Ответ:
Решение:
На доске написано число ноль. Петру разрешается совершать следующие операции:
- применить к одному из написанных на доске чисел тригонометрическую ($\sin$, $\cos$, $\operatorname{tg}$ или $\operatorname{ctg}$) или обратную тригонометрическую ($\arcsin$, $\arccos$, $\operatorname{arctg}$ или $\operatorname{arcctg}$) функцию и написать результат на доске;
- написать на доске частное или произведение двух уже написанных чисел.
Ответ:
Решение:
Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Известно, что $\angle C=57^\circ$, $\sin\angle A+\sin\angle B=\sqrt{2}$ и $\cos\angle A+\cos\angle B=2-\sqrt{2}$. Сколько градусов составляет угол $D$?
Ответ:
Решение:
Известно, что для некоторых $x$ и $y$ суммы $\sin x+\cos y$ и $\sin y+\cos x$ — положительные рациональные числа. Докажите, что найдутся такие натуральные числа $m$ и $n$, что $m\sin x+n\cos x$ — натуральное число.
Ответ:
Решение:
Число $x$ таково, что обе суммы $S=\sin64x+\sin65x$ и $C=\cos64x+\cos65x$ — рациональные числа. Докажите, что в одной из этих сумм оба слагаемых рациональны.
Ответ:
Решение:
Число $x$ таково, что $\sin x+\operatorname{tg}x$ и $\cos x+\operatorname{ctg}x$ — рациональные числа. Докажите, что $\sin 2x$ является корнем квадратного уравнения с целыми коэффициентами.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение: