Последовательность $a_n$ задана следующим образом: \[ a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n+\dfrac{2a_n}{n}\quad (\text{при } n\geqslant 1). \] Найдите $a_{999}$.
Ответ:
Решение:
Последовательность $a_n$ задана следующим образом: \[ a_1=2,\quad a_{n+1}=a_n+\dfrac{2a_n}{n}\quad (\text{при } n\geqslant 1). \] Найдите $a_{200}$.
Ответ:
Решение:
Последовательность $a_n$ задана следующим образом: \[ a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n+\dfrac{2a_n}{n}\quad (\text{при } n\geqslant 1). \] Найдите $a_{200}$.
Ответ:
Решение:
Последовательность $a_n$ задана следующим образом: \[ a_1=2,\quad a_{n+1}=a_n+\dfrac{2a_n}{n}\quad (\text{при } n\geqslant 1). \] Найдите $a_{100}$.
Ответ:
Решение:
Последовательность $a_n$ задана следующим образом: \[ a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n+\frac{2a_n}{n}\quad(\text{при } n\geqslant1). \] Найдите $a_{100}$.
Ответ:
Решение:
Для функции $f(x)=-\frac{x^2}{1+x^2}$ найдите сумму \[ f\left(\dfrac{1}{2018}\right)+f\left(\dfrac{1}{2017}\right)+\ldots+f\left(\dfrac12\right)+f(1)+f(2)+\ldots+f(2017)+f(2018). \]
Ответ:
Решение:
Какое из чисел больше: \[ A=\frac{3}{(1\cdot2)^2}+\frac{5}{(2\cdot3)^2}+\ldots+\frac{87}{(43\cdot44)^2}+\frac{89}{(44\cdot45)^2}\quad\text{или}\quad B=\frac{\sqrt[6]{4-2\sqrt3}\cdot\sqrt[3]{\sqrt3+1}}{\sqrt[3]{2}}\ ?\]
Ответ:
Решение:
Найдите натуральное число $n$, для которого выполняется равенство \[ \dfrac{4^3-1}{4^3+1}\cdot\dfrac{5^3-1}{5^3+1}\cdot\ldots\cdot\dfrac{n^3-1}{n^3+1}=\dfrac{2439}{2639}. \]
Ответ:
Решение:
Представьте в виде несократимой дроби: \[ \frac{12+15}{18}+\frac{21+24}{27}+\ldots+\frac{48+51}{54}. \]
Ответ:
Решение:
Вычислите значение выражения \[ \left(1+\dfrac{1}{14^2-1}\right)\cdot\left(1+\dfrac{1}{15^2-1}\right)\cdot\left(1+\dfrac{1}{16^2-1}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1+\dfrac{1}{300^2-1}\right) \] (ответ округлите до тысячных).
Ответ:
Решение:
Назовём тройку чисел триплетом, если одно из них равно среднему арифметическому двух других. Дана бесконечная последовательность $(a_n)$, состоящая из натуральных чисел. Известно, что $a_1=a_2=1$ и при $n\gt 2$ число $a_n$ — минимальное натуральное число такое, что среди чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ нет трёх, образующих триплет. Докажите, что $a_n\leqslant \dfrac{n^2+7}{8}$ для любого $n$.
Ответ:
Решение:
День в Анчурии может быть либо ясным, когда весь день солнце, либо дождливым, когда весь день льёт дождь. И если сегодня день не такой, как вчера, то анчурийцы говорят, что сегодня погода изменилась. Однажды анчурийские ученые установили, что $1$ января день всегда ясный, а каждый следующий день в январе будет ясным, только если ровно год назад в этот день погода изменилась. В $2015$ году январь в Анчурии был весьма разнообразным: то солнце, то дожди. В каком году погода в январе впервые будет меняться ровно так же, как в январе $2015$ года?
Ответ:
Решение:
Последовательность $(a_n)$ удовлетворяет условиям\[a_0=0,\quad a_1\neq 0,\quad a_{n+1}-a_n=\sqrt{a_n+a_{n+1}}\quad\text{при всех } n\geqslant 0.\]Какие значения может принимать $a_{2024}$?
Ответ:
Решение:
Вася задал последовательность $x_n$ следующим образом: $x_0=2$, а для любого натурального $n$ \[ x_n=\left(n^4-2n^2+2\right)\left(\dfrac{x_{n-1}}{n^4-4n^3+4n^2+1}+2\right). \] Чему равно значение $x_{100}$?
Ответ:
Решение:
Коля записывает в тетрадь натуральные числа. Первым он пишет число 4, вторым — число 6. Каждое следующее число он пишет по следующему правилу. Если последними записанными числами были числа $a$ и $b$ (в указанном порядке), то следующим он записывает наименьшее составное число, которое больше, чем $2b-a$. Какое число он запишет 1501-м?
Ответ:
Решение:
Студент написал программу перекрашивания пикселя в один из 128 различных цветов. Эти цвета он занумеровал натуральными числами от 1 до 128, причем основные цвета получили следующие номера: белый цвет — номер 1, красный — 5, оранжевый — 13, желтый — 19, зеленый — 23, голубой — 53, синий — 55, фиолетовый — 83, черный — 128. Если исходный цвет пикселя имеет номер $n\leqslant 17$, то программа студента перекрашивает его в цвет с номером $3n-2$, а если исходный цвет пикселя имеет номер $n\geqslant 18$, то пиксель перекрашивается в цвет с номером $|129-2n|$. Изначально пиксель имел красный цвет. К нему студент последовательно применил свою программу 2019 раз. В какой цвет в результате окрасился пиксель?
Ответ:
Решение:
Дана последовательность чисел, члены которой удовлетворяют соотношению: \[ b_n\cdot b_{n-2}^3=b_{n-3}\cdot b_{n-1}^3 \] при всех $n=4,5,6\ldots$ Найдите $b_{2023}$, если известно, что $b_1=2$, $b_2=1$, $b_3=2$.
Ответ:
Решение:
Последовательность $a_n$ задана формулами $a_1=\frac{4043}{2022}$, $a_{n+1}=a_n^3-3a_n^2+3a_n$. Найдётся ли натуральное число $n$ такое, что $|a_n|\leqslant\frac{2022}{2021}$? Обоснуйте свой ответ.
Ответ:
Решение:
Последовательность чисел задана следующим образом: $a_1=0$, $a_2=1$ и $a_{n+1}=4(a_n-a_{n-1})$ при $n\geqslant2$. Найдите наименьший положительный член последовательности, кратный $2014$. В ответе укажите номер этого члена.
Ответ:
Решение: