Готовые варианты контрольных — за минуты

В летнем лагере 15 лучших игроков играют в настольный теннис «на победителя». В каждой игре побеждает сильнейший, проигравший выбывает, а победитель играет со следующим игроком. Очерёдность вступления в игру была разыграна по жребию. Известно, что первый игрок победил уже пять раз. Какова вероятность того, что он же победит и в следующей игре?

Когда Рассеянному Учёному приходит в голову гениальная идея, он записывает её на листке бумаги, но тут же понимает, что идея не гениальная, комкает лист и кидает под стол, где стоят две мусорные корзины. Учёный попадает в первую корзину с вероятностью 0,25, и с такой же вероятностью он попадает во вторую. За утро Учёный бросил под стол пять скомканных гениальных идей. Найдите вероятность того, что в каждой корзине оказалось хотя бы по одной идее. Результат округлите до тысячных.

Когда Рассеянному Учёному приходит в голову гениальная идея, он записывает её на листке бумаги, но тут же понимает, что идея не гениальная, комкает лист и кидает под стол, где стоят две мусорные корзины. Учёный промахивается мимо первой корзины с вероятностью $\frac{3}{4}$, и с такой же вероятностью он промахивается мимо второй. За утро Учёный бросил под стол пять скомканных гениальных идей. Известно, что в корзины попало ровно 4 из них. Найдите вероятность того, что ни одна из корзин не пустая.

У короля Артура два одинаково мудрых советника — Мерлин и Персифаль. Каждый из них находит верный ответ на любой вопрос с вероятностью $p$ или неверный ответ с вероятностью $q=1-p$.
Если оба советника говорят одно и то же, король слушается их. Если они говорят противоположное, то король выбирает решение, подбрасывая монету.
Однажды Артур задумался — зачем ему два советника, не хватит ли одного? Тогда король позвал советников и сказал:
— Мне кажется, что вероятность принятия верных решений не уменьшится, если я оставлю одного советника и буду его слушаться. Если это так, я должен уволить одного из Вас. Если это не так, я оставлю все, как есть. Ответьте мне, должен ли я уволить одного из вас?
— Кого именно ты собираешься уволить, король Артур? — спросили советники.
— Если я приму решение уволить одного из вас, то сделаю выбор с помощью жребия, бросив монету.
Советники ушли думать над ответом. Советники, повторим, одинаково мудрые, но не одинаково честные. Персифаль очень честен и постарается дать верный ответ, даже если ему грозит увольнение. А Мерлин, честный во всем прочем, в этой ситуации решает дать такой ответ, чтобы вероятность его увольнения была как можно меньше. Какова вероятность того, что Мерлин будет уволен?

Петя и еще 9 человек играют в такую игру: каждый бросает игральную кость. Игрок получает приз, если он выбросил число очков, которое не удалось выбросить никому больше.
а) Какова вероятность того, что Петя получит приз?
б) Какова вероятность того, что хоть кто-то получит приз?

Будем считать, что рождение девочки и мальчика равновероятны. Известно, что в некоторой семье двое детей.
а) Какова вероятность того, что из них один мальчик и одна девочка?
б) Дополнительно известно, что один из детей — мальчик. Какова теперь вероятность того, что в семье один мальчик и одна девочка?
в) Дополнительно известно, что мальчик родился в понедельник. Какова теперь вероятность того, что в семье один мальчик и одна девочка?

Вероятность рождения двойняшек в Швамбрании равна $p$, тройняшки в Швамбрании не рождаются.
а) Оцените вероятность того, что случайно встреченный на улице швамбранец — один из пары двойняшек?
б) В некоторой швамбранской семье трое детей. Какова вероятность того, что среди них есть пара двойняшек?
в) В школах швамбранских двойняшек обязательно зачисляют в один класс. Всего в Швамбрании $N$ первоклассников. Каково математическое ожидание числа пар двойняшек среди них?

В понедельник у Миши пять уроков, а во вторник — шесть. Чтобы предсказать, на каких уроках непредсказуемые учителя спросят у него домашнее задание, Миша бросает монету 11 раз — по числу возможных неприятностей. Если выпадает орёл, Миша считает, что на этом уроке его спросят, если решка — то не спросят. После уроков во вторник Миша констатировал, что ему удалось угадать 7 раз. Найдите вероятность того, что ровно 3 верных предсказания относились к понедельнику.

Если бросают игральную кость, то событие $A=\{1, 2, 3\}$ состоит в том, что выпала одна из граней 1, 2 или 3. Аналогично, событию $B=\{1, 2, 4\}$ благоприятствуют грани 1, 2 и 4.
Игральную кость бросили 10 раз. Известно, что событие $A$ осуществилось ровно 6 раз.
а) Найдите вероятность того, что при этом условии событие $B$ не произошло ни разу.
б) Найдите математическое ожидание случайной величины $X$ «Количество осуществлений события $B$».

Неправдоподобная легенда гласит, что однажды король Франции приказал отчеканить две памятные монеты в честь великого математика Даламбера. Король захотел, чтобы при бросании этих двух монет события «Два орла», «Две решки» и «Один орёл и одна решка» оказались равновероятны, пусть даже монеты окажутся разной формы. Сможет ли французский монетный двор выпустить такие монеты?

Когда Рассеянному Учёному приходит в голову гениальная идея, он записывает её на листке бумаги, но тут же понимает, что идея не гениальная, комкает лист и кидает под стол, где стоят две мусорные корзины. Учёный промахивается мимо первой корзины с вероятностью $p$ (где $p\gt 0{,}5$), и с такой же вероятностью он промахивается мимо второй. За утро Учёный бросил под стол пять скомканных гениальных идей. Найдите вероятность того, что в каждой корзине оказалось хотя бы по одной из утренних идей.

Когда Рассеянному Учёному приходит в голову гениальная идея, он записывает её на листке бумаги, но тут же понимает, что идея не гениальная, комкает лист и кидает под стол, где стоят две мусорные корзины. Учёный попадает в первую корзину с вероятностью $p$ (где $p\lt 0{,}5$), и с такой же вероятностью он попадает во вторую. За утро Учёный бросил под стол шесть скомканных гениальных идей. Найдите вероятность того, что в каждой корзине оказалось хотя бы по одной из утренних идей.

В одном пакетике два пирожка с капустой, в другом два с вишней, в третьем — один с капустой и один с вишней. Выглядят и весят пирожки одинаково, так что неизвестно, какой с чем. Внуку в школу нужно дать один пирожок. Бабушка хочет дать пирожок с вишней, но она сама запуталась в своих пирожках и определить начинку может, только надломив пирожок. Надломленный пирожок внук не хочет, он хочет целый.
а) Покажите, что бабушка может действовать так, что вероятность дать внуку целый пирожок с вишней будет равна $\frac{2}{3}$.
б) Существует ли стратегия, при которой вероятность дать внуку целый пирожок с вишней выше, чем $\frac{2}{3}$? Если да — найдите эту стратегию. Если нет — докажите её отсутствие.

На берёзе сидели белые и чёрные вороны — всего их было 50. Белые точно были, но чёрных было не меньше, чем белых. На дубе тоже сидели белые и чёрные вороны, и было их всего 50. На дубе чёрных тоже было не меньше, чем белых или столько же, а может быть, даже на одну меньше. Одна случайная ворона перелетела с берёзы на дуб, а через некоторое время другая (хотя, может быть, та же самая) случайная ворона перелетела с дуба на берёзу. Что более вероятно: что количество белых ворон на берёзе стало таким же, как было сначала, или что оно изменилось?

Согласно одной неправдоподобной легенде, Коши и Буняковский очень любили по вечерам играть в дартс. Но мишень у них была необычная — секторы на ней были неравные, так что вероятности попасть в разные секторы были не одинаковы. Однажды Коши бросил дротик и попал в мишень. Следующим бросает Буняковский. Что более вероятно: что Буняковский попадёт в тот же сектор, в который попал Коши, или что он попадёт в следующий сектор по часовой стрелке?

Однажды карманник Кирпич украл бумажник, в котором оказались четыре кредитные карты и записка с четырьмя пин-кодами к этим картам. Кирпич не знает, какой пин-код соответствует какой карте. Если три раза неправильно ввести пин-код к какой-то карте, то она заблокируется.
а) Покажите, что Кирпич сможет снять деньги с трёх карт, если будет действовать правильно.
б) Какова вероятность того, что Кирпич сможет снять деньги со всех четырёх карт?

В Анчурии ежегодно проходит Конгресс Городов, на который приезжают делегации всех пяти городов. В делегации каждого города есть члены правящей Анчурийской Партии Прогресса (APP), а также члены оппозиционной Партии Развития Анчурии (ADP). В разных делегациях количественное соотношение политических сил разное, но в каждой делегации членов APP большинство.
Конгресс проходит в два дня, и на каждый день избирается Председатель Конгресса. Процедура выборов такова: каждый вечер накануне заседания честным жребием выбирается город, а затем среди делегатов из выбранного города честным жребием выбирается Председатель на завтра.
Однажды президент Анчурии предложил новую процедуру. 1. За неделю до Конгресса честным жребием выбирается город. 2. Председатель на каждый день выбирается честным жребием из делегатов выбранного города.
В частном разговоре с премьер-министром президент объяснил, что новая процедура увеличит вероятность того, что оба дня Председателями будут члены лояльной APP. Премьер-министр был против изменений и возразил, что из-за новой процедуры вырастет вероятность того, что оба дня Председателями окажутся члены ненавистной ADP.
Кто прав — президент или премьер-министр?

Незнайка решал следующую задачу. «Дан набор из 20 случайных цифр. Найдите вероятность того, что произведение этих цифр оканчивается на 0». Незнайка рассуждал так.
Если набор содержит цифру 0, то произведение цифр точно оканчивается на 0. Вероятность этого равна $1-\left(\frac{9}{10}\right)^{20}$. Если номер не содержит 0 (вероятность этого $\left(\frac{9}{10}\right)^{20}$), то, чтобы произведение было нулевым, он должен содержать хотя бы одну чётную цифру и цифру 5.
Всего есть девять ненулевых цифр, из них только четыре чётные. Вероятность того, что все цифры нечётные, равна $\left(\frac{5}{9}\right)^{20}$, значит, вероятность того, что есть хотя бы одна чётная цифра, равна $1-\left(\frac{5}{9}\right)^{20}$.
После того как мы удостоверились, что в номере нет нуля, но есть чётная цифра, надо убедиться в том, что есть цифра 5. Условная вероятность того, что пятёрки нет, при условии, что есть чётная цифра, равна $\left(\frac{8}{9}\right)^{19}$, ведь одна позиция занята чётной цифрой, так что пятёрка на этой позиции точно стоять не будет, остаётся 19 позиций, и пятёрка отсутствует, если на каждой из них одна из восьми цифр (не 5 и не 0). Поэтому условная вероятность того, что пятёрка есть, равна $1-\left(\frac{8}{9}\right)^{19}$. Следовательно, искомая вероятность равна $$\left(1-\left(\frac{9}{10}\right)^{20}\right)+\left(\frac{9}{10}\right)^{20}\cdot\left(1-\left(\frac{5}{9}\right)^{20}\right)\cdot\left(1-\left(\frac{8}{9}\right)^{19}\right)\approx 0{,}987.$$
Знайка провёл эксперимент: он сгенерировал на компьютере 1000 случайных последовательностей по 20 цифр в каждой и нашёл долю тех последовательностей, где произведение цифр оканчивалось нулём. Эксперимент дал результат близкий к ответу Незнайки. Расхождение оказалось совсем небольшим и, возможно, случайным, если Незнайка правильно решил задачу. Или не случайным?
Повторите эксперимент Знайки несколько раз. Удаётся ли с помощью эксперимента подтвердить или опровергнуть правоту Незнайки? Если Незнайка все же ошибся, то как правильно решить задачу?

Однажды прекрасная королева Гвиневра, находясь в родительском замке, попросила короля Артура прислать ей 20 жемчужин. На дорогах неспокойно, и Артур на всякий случай решил послать 40 жемчужин, причем с разными гонцами, велев им скакать по разным дорогам. На пути гонцов могут подстерегать разбойники. Вероятность того, что каждый отдельный гонец будет ограблен, равна $p$, независимо от выбранной дороги и от судьбы других гонцов $(0\lt p\lt 1)$.
Король в раздумьях: послать двух гонцов, дав каждому по 20 жемчужин, послать трех гонцов, дав одному 20, а двум по 10 жемчужин, или послать четырех гонцов, дав каждому по 10 жемчужин? Какой вариант следует выбрать королю, чтобы королева с наибольшей вероятностью получила хотя бы 20 жемчужин?

В случайном опыте ровно 5 равновозможных элементарных событий. Рассмотрим все возможные события этого опыта. Сколько из них можно выбрать пар различных независимых событий?