Существует ли бесконечная последовательность натуральных чисел такая, что для любого натурального $k$ сумма любых $k$ идущих подряд членов этой последовательности делится на $k+1$?
Ответ:
Решение:
На доске написали 10 натуральных чисел. Если отметить любые три из написанных чисел, то сумма всех трёх будет делиться на два числа из этой тройки. Докажите, что среди написанных чисел есть равные.
Ответ:
Решение:
На доске девять раз (друг под другом) написали некоторое натуральное число $N$. Петя к каждому из 9 чисел приписал слева или справа одну ненулевую цифру; при этом все приписанные цифры различны. Какое наибольшее количество простых чисел могло оказаться среди 9 полученных чисел?
Ответ:
Решение:
Дан выпуклый четырёхугольник периметра $10^{100}$, у которого длины всех сторон — натуральные числа, а сумма длин любых трёх сторон делится на длину оставшейся четвёртой стороны. Докажите, что этот четырёхугольник — ромб.
Ответ:
Решение:
На доске написаны пять натуральных чисел. Оказалось, что сумма любых трёх из них делится на каждое из остальных. Обязательно ли среди этих чисел найдутся четыре равных?
Ответ:
Решение:
В начале года каждому из 150 бойцов лиги смешанных единоборств был присвоен номер от 1 до 150. В течение года было проведено 149 поединков: первого со вторым, второго с третьим, …, 149-го со 150-м. В конце года был составлен список бойцов, победивших во всех поединках, в которых они участвовали в прошедшем году. Могли ли в этом списке оказаться и все бойцы с номерами кратными 17, и все бойцы с номерами кратными 20?
Ответ:
Решение:
Найдутся ли такие 15 идущих подряд целых чисел, что сумма четырех наименьших из них равна сумме одиннадцати остальных?
Ответ:
Решение:
Простое число $p$ таково, что для любых целых чисел $a$ и $b$ числа \[10a+3b\quad\text{и}\quad a+8b\] или оба делятся на $p$, или оба не делятся. Найдите, чему может быть равно $p$.
Ответ:
Решение:
На урок физкультуры пришли девочки и мальчики. У учителя было 47 волейбольных мячей. Сначала он выдал каждой девочке по одному мячу, а все оставшиеся мячи поделил поровну между мальчиками (при этом каждый ребёнок получил хотя бы один мяч). Затем учитель поделил всех мальчиков на группы, одинаковые по количеству человек (возможно, группа была всего одна). В каждую группу он захотел добавить по одной девочке, но девочек оказалось на одну больше, чем групп.
1. Какое наибольшее количество мальчиков могло быть на уроке?
2. Сколько девочек могло быть на уроке? Укажите все возможные варианты.
1. Какое наибольшее количество мальчиков могло быть на уроке?
2. Сколько девочек могло быть на уроке? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение:
Пару натуральных чисел $(a,p)$ назовём хорошей, если число $a^3+p^3$ делится на $a^2-p^2$, причём $a\gt p$.
1. Укажите любое возможное значение $a$, для которого пара $(a,13)$ — хорошая.
2. Найдите количество хороших пар, для которых $p$ — простое число, меньшее 20.
1. Укажите любое возможное значение $a$, для которого пара $(a,13)$ — хорошая.
2. Найдите количество хороших пар, для которых $p$ — простое число, меньшее 20.
Ответ:
Решение:
У Карлсона и Малыша есть несколько банок варенья, каждая весит целое число фунтов. Суммарный вес всех банок варенья Карлсона в 13 раз больше суммарного веса всех банок Малыша. Карлсон отдал Малышу банку с наименьшим весом (из тех, что были у него), после чего суммарный вес его банок оказался в 8 раз больше суммарного веса банок Малыша.
Какое наибольшее количество банок варенья могло изначально быть у Карлсона?
Какое наибольшее количество банок варенья могло изначально быть у Карлсона?
Ответ:
Решение:
Даны четыре последовательных натуральных числа, б\'{о}льших 100. Докажите, что из них можно выбрать три числа, сумма которых представляется в виде произведения трёх различных натуральных чисел, б\'{о}льших 1.
Ответ:
Решение:
Петя выбрал натуральное число $n$ и выписал на доску следующие $n$ дробей: \[\frac{0}{n},\ \frac{1}{n-1},\ \frac{2}{n-2},\ \frac{3}{n-3},\ \ldots,\ \frac{n-1}{n-(n-1)}.\] Пусть число $n$ делится на натуральное число $d$. Докажите, что среди выписанных дробей найдётся дробь, равная числу $d-1$.
Ответ:
Решение:
Вася вписал в клетки таблицы $4\times18$ натуральные числа от 1 до 72 в некотором одному ему известном порядке. Затем для каждого из восемнадцати столбцов он перемножил стоящие в нём четыре числа и вычислил сумму цифр полученного произведения. Могли ли все восемнадцать сумм оказаться одинаковыми?
Ответ:
Решение:
Петя показал Васе 37 внешне одинаковых карточек, выложенных в ряд. Он сказал, что на закрытых сторонах карточек записаны все числа от 1 до 37 (каждое по одному разу) так, что число на любой карточке начиная со второй является делителем суммы чисел, написанных на всех предшествующих карточках. Затем Петя показал Васе, что на первой карточке написано число 37, а на второй — число 1. Вася сказал, что он тогда знает, какое число написано на третьей карточке. Какое?
Ответ:
Решение:
Таблица $70\times70$ заполнена числами от 1 до 4900:
- в первой строке слева направо выписаны числа от 1 до 70 в порядке возрастания;
- во второй строке точно так же выписаны числа от 71 до 140;
- и т. д.;
- в последней строке слева направо выписаны числа от 4831 до 4900.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Какое наименьшее количество цифр можно вычеркнуть из числа 20162016 так, чтобы результат делился на 2016 (ничего не вычёркивать нельзя)? Напоминаем, что надо не только привести пример, но и объяснить, почему меньшим количеством цифр обойтись нельзя.
Ответ:
Решение:
Ребята пошли в лес за грибами. Таня нашла 5 грибов, Илья нашёл 50 грибов, а все остальные ребята — по 13 грибов. Оказалось, что дети могут поделиться друг с другом грибами так, что у всех станет грибов поровну. Сколько детей ходило в лес за грибами?
Ответ:
Решение:
В 10 кружков на картинке расставили целые числа от 1 до 10, каждое по разу. Между некоторыми парами из них нарисовали стрелку или отрезок, руководствуясь следующими правилами:
- Если одно число делится на другое, то от большего числа нарисовали стрелку к меньшему;
- Если ни одно число не делится на другое, то между ними нарисовали отрезок.
Ответ:
Решение: