Найдите наименьшее натуральное $N$ такое, что $N+2$ делится (без остатка) на 2, $N+3$ — на 3, $\ldots$, $N+10$ — на 10.
Ответ:
Решение:
Верхней целой частью числа $x$ называют наименьшее целое число, большее или равное $x$. Существует ли такое число $A$, что для любого натурального $n$ расстояние от верхней целой части $A^n$ до ближайшего квадрата натурального числа всегда равно 2?
Ответ:
Решение:
Верхней целой частью числа $x$ называют наименьшее целое число, большее или равное $x$. Докажите, что существует такое вещественное число $A$, что для любого натурального $n$ расстояние от верхней целой части $A^n$ до ближайшего квадрата натурального числа всегда равно $2$.
Ответ:
Решение:
Докажите, что для любых натуральных $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_k$ таких, что \[\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_k}\gt 1,\] у уравнения \[\left[\frac{n}{a_1}\right]+\left[\frac{n}{a_2}\right]+\ldots+\left[\frac{n}{a_k}\right]=n\] не больше чем $a_1a_2\ldots a_k$ решений в натуральных числах. ($[x]$ — целая часть числа $x$, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)
Ответ:
Решение:
Рациональные числа $x$, $y$ и $z$ таковы, что все числа $x+y^2+z^2$, $x^2+y+z^2$ и $x^2+y^2+z$ целые. Верно ли, что число $2x$ целое?
Ответ:
Решение:
Будем обозначать $\text{Окр}(x)$ результат округления числа до ближайшего целого по стандартным математическим правилам, например, \[ \text{Окр}(3{,}14)=3,\quad \text{Окр}(2{,}71)=3,\quad \text{Окр}(4{,}5)=5. \] Задана последовательность чисел \[ a_n=n+\text{Окр}(\sqrt n),\quad n=1,2,\ldots \] Существует ли в этой последовательности участок, состоящий из $2026$ последовательных натуральных чисел?
Если такого участка нет, в ответе укажите $0$. Если такой участок существует, в ответе укажите наименьшее значение $k$, для которого $a_k, a_{k+1}, \ldots, a_{k+2025}$ являются последовательными натуральными числами.
Если такого участка нет, в ответе укажите $0$. Если такой участок существует, в ответе укажите наименьшее значение $k$, для которого $a_k, a_{k+1}, \ldots, a_{k+2025}$ являются последовательными натуральными числами.
Ответ:
Решение:
Найдите все натуральные значения $n$, удовлетворяющие уравнению \[ 2002\left[n\sqrt{1001^2+1}\right]=n\left[2002\sqrt{1001^2+1}\right], \] где $[x]$ — наибольшее целое число, не превосходящее числа $x$.
Ответ:
Решение:
Найдите количество различных значений функции $f(x)=[15x]+[21x]+[35x]+[45x]+\left[\frac{4x}{3}\right]$ на отрезке $x\in[0;75]$.
Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$ — наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Например, $[1{,}7]=1$, $[-1{,}7]=-2$.
Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$ — наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Например, $[1{,}7]=1$, $[-1{,}7]=-2$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найдите все действительные числа $x$ такие, что оба числа $x+\sqrt{3}$ и $x^2+\sqrt{3}$ — рациональные.
Ответ:
Решение:
Множество $A$ состоит из натуральных чисел $n$, делящихся на $[\sqrt[3]{n}]$. Здесь $[x]$ — целая часть числа $x$, то есть наибольшее целое число, не превышающее $x$. Найдите количество чисел из отрезка $[25,2025]$, принадлежащих множеству $A$.
Ответ:
Решение:
Вычислите $\sqrt{n}+\sqrt{n+524}$, если известно, что это число рациональное и что $n$ — натуральное.
Ответ:
Решение:
Целые числа $x$ и $y$ связаны уравнением $2x-3y=1$ и имеют вид \[ x=12a+b\sqrt5,\quad y=ba^{-1}+3\sqrt5 \] для некоторых чисел $a$ и $b$. Найти $x$, $y$ и $a$, если известно, что число $b$ рациональное.
Ответ:
Решение:
Найти первые 100 цифр после запятой в десятичной форме записи числа $\left(7+4\sqrt{3}\right)^{2023}$.
Ответ:
Решение:
При каких натуральных $n$ дробь $\dfrac{2}{n}$ может быть представлена периодической десятичной дробью вида $0{,}1(a_1a_2)$ с периодом, содержащим две различные цифры?
Ответ:
Решение:
Сколько существует натуральных чисел $k$, для которых перевод обыкновенной дроби $\dfrac{2k+3}{2k}$ в десятичную приведет к конечной десятичной дроби с $100$ знаками после запятой?
Ответ:
Решение:
Найдите все положительные числа $x$ такие, что оба числа $x+\frac{1}{x}$ и $x^2-4x$ являются целыми. В ответ запишите наибольшее из них, вычисленное с точностью до двух знаков после запятой.
Ответ:
Решение:
Ваня выписал на доску подряд все целые части от деления каждого из чисел \[ 1^2,2^2,\ldots,2024^2 \] на 2024, пропуская все повторяющиеся значения. Сколько всего чисел он выписал?
Ответ:
Решение:
Множество $M$ состоит из всех таких чисел $t$, для каждого из которых числа \[ t+\frac{1}{t}\quad\text{и}\quad t^2-4t \] являются целыми. Найдите сумму квадратов элементов множества $M$.
Ответ:
Решение: