Про натуральные числа $x$ и $y$ и целое нечётное число $z$ известно, что \[ x!+y!=24z+2017. \] Найдите все возможные такие тройки чисел $(x,y,z)$.
Ответ:
Решение:
Вася хочет найти все целые числа $a$ такие, что выражение $10n^3-3n^5+7an$ делится на $15$ для всех целых $n$. Какие остатки может давать число $a$ при делении на $15$? Укажите все возможные ответы или докажите, что таких целых чисел $a$ нет.
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее натуральное число, десятичная запись квадрата которого оканчивается на 2016.
Ответ:
Решение:
Найдите остаток от деления на 11 числа $A$: \[ A=\dfrac{2^1-2^2+2^3-\ldots+2^9-2^{10}}{-2^{-1}+2^{-2}-2^{-3}+\ldots-2^{-9}+2^{-10}}. \]
Ответ:
Решение:
Последовательность Фибоначчи задана рекуррентно $a_1=a_2=1$, $a_{n+1}=a_n+a_{n-1}$, $n\geqslant2$. С каким остатком число 3 в степени $a_{2022}$ делится на 13?
Ответ:
Решение:
Числа от 100 до 999 выписаны без пробелов. С каким остатком полученное 2700-значное число делится на 7?
Ответ:
Решение:
Для некоторого простого числа $p$ рассматривается числовая последовательность $x_1$; $x_2$; $x_3$; …, где $x_n$ равно остатку от деления $p^{n+2}$ на 24. Найдите разность $x_{2024}-x_{2020}$.
Ответ:
Решение:
Для некоторого простого числа $p$ рассматривается числовая последовательность $x_1$; $x_2$; $x_3$; …, где $x_n$ равно остатку от деления $p^{n+2}$ на 24. Найдите разность $x_{2024}-x_{2018}$.
Ответ:
Решение:
Найдите количество натуральных чисел $k$, не превосходящих $445000$ и таких, что $k^2-1$ делится нацело на $445$.
Ответ:
Решение:
Найдите количество натуральных чисел $k$, не превосходящих $333300$ и таких, что $k^2-2k$ делится нацело на $303$.
Ответ:
Решение:
Какое наименьшее значение может принимать сумма $20$ различных натуральных чисел таких, что
- ни одно из которых не делится ни на $2$, ни на $3$, ни на $5$, ни на $7$,
- сумма любых двух чисел делится на $2$,
- сумма любых трёх чисел делится на $3$,
- сумма любых пяти чисел делится на $5$,
- сумма любых семи чисел делится на $7$?
Ответ:
Решение:
Сколько пар натуральных чисел $(a;b)$ таких, что сумма $a+b$ чётна, удовлетворяют равенству \[ (a+1)a+7b=1\,000\,001? \]
Ответ:
Решение:
Найдите количество всех пар натуральных чисел $x, y$, при которых верно равенство \[ \sqrt[4]{10^x}+x^2+x+5y=10^{2101}. \]
Ответ:
Решение:
Найдите количество всех пар натуральных чисел $x,y$, при которых верно равенство \[ \sqrt[3]{10^x}+x^3+3x^2+x+5y=10^{1001}. \]
Ответ:
Решение:
Рассматривается множество $M$ целых чисел $n\in[-20;100]$, для которых выражение \[ A=n^3+n^2-14n-24 \] делится на $7$. Сколько целых чисел содержится в $M$? Найти наибольшее и наименьшее из них.
Ответ:
Решение:
Натуральные числа $m$ и $n$, $m\neq n$, таковы, что число $2013^m$ имеет такие же две последние цифры, как и $2013^n$.
а) Приведите пример таких чисел $m$ и $n$.
б) Выясните, какое наименьшее значение может принимать величина $m+n$.
а) Приведите пример таких чисел $m$ и $n$.
б) Выясните, какое наименьшее значение может принимать величина $m+n$.
Ответ:
Решение:
Число $n+2015$ делится на $2016$, а число $n+2016$ делится на $2015$. Найдите наименьшее натуральное $n$, при котором это возможно.
Ответ:
Решение:
Таня задумала две такие цифры $a$ и $b$, что составленное из них двузначное число является простым и произведение двух четырёхзначных чисел $\overline{793a}$ и $\overline{1b09}$ при делении на 11 дает в остатке 1. Определите все возможные значения получающегося простого числа.
Ответ:
Решение:
Толя задумал две такие цифры $a$ и $b$, что составленное из них двузначное число является простым и произведение двух четырёхзначных чисел $\overline{180a}$ и $\overline{4b78}$ при делении на $11$ дает в остатке $1$. Определите все возможные значения получающегося простого числа.
Ответ:
Решение:
Существует ли такой квадратный трёхчлен $f(x)=ax^2+bx+c$ с целыми коэффициентами и $a$, не кратным $2014$, что все числа $f(1)$, $f(2)$, …, $f(2014)$ имеют различные остатки при делении на $2014$?
Ответ:
Решение: