Петя выбрал натуральное число $n$ и выписал на доску следующие $n$ дробей: \[\frac{0}{n},\ \frac{1}{n-1},\ \frac{2}{n-2},\ \frac{3}{n-3},\ \ldots,\ \frac{n-1}{n-(n-1)}.\] Пусть число $n$ делится на натуральное число $d$. Докажите, что среди выписанных дробей найдётся дробь, равная числу $d-1$.
Ответ:
Решение:
Даны четыре последовательных натуральных числа, б\'{о}льших 100. Докажите, что из них можно выбрать три числа, сумма которых представляется в виде произведения трёх различных натуральных чисел, б\'{о}льших 1.
Ответ:
Решение:
У Карлсона и Малыша есть несколько банок варенья, каждая весит целое число фунтов. Суммарный вес всех банок варенья Карлсона в 13 раз больше суммарного веса всех банок Малыша. Карлсон отдал Малышу банку с наименьшим весом (из тех, что были у него), после чего суммарный вес его банок оказался в 8 раз больше суммарного веса банок Малыша.
Какое наибольшее количество банок варенья могло изначально быть у Карлсона?
Какое наибольшее количество банок варенья могло изначально быть у Карлсона?
Ответ:
Решение:
Пару натуральных чисел $(a,p)$ назовём хорошей, если число $a^3+p^3$ делится на $a^2-p^2$, причём $a\gt p$.
1. Укажите любое возможное значение $a$, для которого пара $(a,13)$ — хорошая.
2. Найдите количество хороших пар, для которых $p$ — простое число, меньшее 20.
1. Укажите любое возможное значение $a$, для которого пара $(a,13)$ — хорошая.
2. Найдите количество хороших пар, для которых $p$ — простое число, меньшее 20.
Ответ:
Решение:
На урок физкультуры пришли девочки и мальчики. У учителя было 47 волейбольных мячей. Сначала он выдал каждой девочке по одному мячу, а все оставшиеся мячи поделил поровну между мальчиками (при этом каждый ребёнок получил хотя бы один мяч). Затем учитель поделил всех мальчиков на группы, одинаковые по количеству человек (возможно, группа была всего одна). В каждую группу он захотел добавить по одной девочке, но девочек оказалось на одну больше, чем групп.
1. Какое наибольшее количество мальчиков могло быть на уроке?
2. Сколько девочек могло быть на уроке? Укажите все возможные варианты.
1. Какое наибольшее количество мальчиков могло быть на уроке?
2. Сколько девочек могло быть на уроке? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение:
Простое число $p$ таково, что для любых целых чисел $a$ и $b$ числа \[10a+3b\quad\text{и}\quad a+8b\] или оба делятся на $p$, или оба не делятся. Найдите, чему может быть равно $p$.
Ответ:
Решение:
Найдутся ли такие 15 идущих подряд целых чисел, что сумма четырех наименьших из них равна сумме одиннадцати остальных?
Ответ:
Решение:
В начале года каждому из 150 бойцов лиги смешанных единоборств был присвоен номер от 1 до 150. В течение года было проведено 149 поединков: первого со вторым, второго с третьим, …, 149-го со 150-м. В конце года был составлен список бойцов, победивших во всех поединках, в которых они участвовали в прошедшем году. Могли ли в этом списке оказаться и все бойцы с номерами кратными 17, и все бойцы с номерами кратными 20?
Ответ:
Решение:
На доске написаны пять натуральных чисел. Оказалось, что сумма любых трёх из них делится на каждое из остальных. Обязательно ли среди этих чисел найдутся четыре равных?
Ответ:
Решение:
Дан выпуклый четырёхугольник периметра $10^{100}$, у которого длины всех сторон — натуральные числа, а сумма длин любых трёх сторон делится на длину оставшейся четвёртой стороны. Докажите, что этот четырёхугольник — ромб.
Ответ:
Решение:
На доске девять раз (друг под другом) написали некоторое натуральное число $N$. Петя к каждому из 9 чисел приписал слева или справа одну ненулевую цифру; при этом все приписанные цифры различны. Какое наибольшее количество простых чисел могло оказаться среди 9 полученных чисел?
Ответ:
Решение:
На доске написали 10 натуральных чисел. Если отметить любые три из написанных чисел, то сумма всех трёх будет делиться на два числа из этой тройки. Докажите, что среди написанных чисел есть равные.
Ответ:
Решение:
Существует ли бесконечная последовательность натуральных чисел такая, что для любого натурального $k$ сумма любых $k$ идущих подряд членов этой последовательности делится на $k+1$?
Ответ:
Решение:
Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составлены девять (не обязательно различных) девятизначных чисел; каждая из цифр использована в каждом числе ровно один раз. На какое наибольшее количество нулей может оканчиваться сумма этих девяти чисел?
Ответ:
Решение:
Пусть $S$ — множество, состоящее из натуральных чисел. Оказалось, что для любого числа $a$ из множества $S$ существуют два числа $b$ и $c$ из множества $S$ такие, что $a=\dfrac{b(3c-5)}{15}$. Докажите, что множество $S$ бесконечно.
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее натуральное число $n$, для которого произведение чисел $n$, $n+1$, $n+2$, …, $n+20$ делится на квадрат какого-то одного из них.
Ответ:
Решение:
Пусть $p$ и $q$ — различные простые числа. Дана бесконечная убывающая арифметическая прогрессия, в которой встречается каждое из чисел $p^{23}$, $p^{24}$, $q^{23}$ и $q^{24}$. Докажите, что в этой прогрессии обязательно встретятся числа $p$ и $q$.
Ответ:
Решение:
Существует ли такое натуральное число $n$, что для каких-то трёх его делителей $a, b, c$, больших 1, произведение $(a-1)(b-1)(c-1)$ делится на $n^2$?
Ответ:
Решение:
Приведите пример шести различных натуральных чисел таких, что произведение любых двух из них не делится на сумму всех чисел, а произведение любых трёх из них — делится.
Ответ:
Решение:
Дано нечётное число $n\gt 10$. Найдите количество способов расставить по кругу в некотором порядке натуральные числа $1, 2, 3, \ldots, n$ так, чтобы каждое число являлось делителем суммы двух соседних с ним чисел. (Способы, отличающиеся поворотом или отражением, считаются одинаковыми.)
Ответ:
Решение: