В течение нескольких дней Дима ходил в кафе и каждый раз выбирал там себе комбо-обед. При заказе комбо-обеда нужно выбрать один из нескольких супов, один из нескольких салатов и одно из 13 горячих блюд. За все дни каждый из возможных комбо-обедов Дима либо заказывал 1 раз, либо не заказывал вовсе. Известно, что один вид горячего он заказывал ровно 1 раз, второй вид — ровно 2 раза, …, тринадцатый вид — ровно 13 раз, а каждую возможную комбинацию «суп + салат» он попробовал ровно 1 раз. Известно, что салатов больше, чем супов. Сколько супов предлагается на выбор при заказе комбо-обеда? Сколько салатов предлагается на выбор при заказе комбо-обеда?
Ответ:
Решение:
Петя задумал составное натуральное число $N$, меньшее 1000. Он выписал на доску все натуральные делители $N$, не равные 1. Оказалось, что два наименьших числа на доске различаются на 39. Чему может быть равно $N$? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $V$ все рёбра имеют целую длину (в сантиметрах). Петя выбрал одну из вершин параллелепипеда $V$ и посчитал площади трёх граней, содержащих эту вершину. Оказалось, что наибольшая из площадей равна 240 см$^2$, а наименьшая — 24 см$^2$. Обозначим $x$ см$^2$ площадь оставшейся грани. Найдите сумму всех возможных значений $x$.
Ответ:
Решение:
Сколько существует чисел, в 23 раза больших своего наименьшего собственного делителя? (Делитель собственный — если он больше 1, но меньше самого числа.)
Ответ:
Решение:
Каково наибольшее количество последовательных натуральных чисел, у каждого из которых ровно четыре натуральных делителя (включая 1 и само число)?
Ответ:
Решение:
На доске записаны двузначные числа. Каждое число составное, но любые два числа взаимно просты. Какое наибольшее количество чисел может быть записано?
Ответ:
Решение:
Выписаны все делители некоторого натурального числа, кроме единицы и его самого. Какие-то два числа из этого списка отличаются в шесть раз. А во сколько раз отличаются два самых больших числа из этого списка?
Ответ:
Решение:
Маша выписала на доску в порядке возрастания все натуральные делители некоторого числа $N$ (самый первый выписанный делитель — 1, самый большой выписанный делитель — само число $N$). Оказалось, что третий с конца делитель в 21 раз больше второго с начала. Какое наибольшее значение может принимать $N$?
Ответ:
Решение:
Сумма трёх различных натуральных делителей нечётного натурального числа $n$ равна 10327. Какое наименьшее значение может принимать $n$?
Ответ:
Решение:
У Маши есть три одинаковых игральных кубика, на гранях каждого из них написано шесть различных простых чисел с суммой 87.
Маша дважды кинула все три кубика. В первый раз сумма выпавших чисел равнялась 10, во второй раз сумма выпавших равнялась 62.
Ровно одно из шести чисел ни разу не выпало. Какое?
Маша дважды кинула все три кубика. В первый раз сумма выпавших чисел равнялась 10, во второй раз сумма выпавших равнялась 62.
Ровно одно из шести чисел ни разу не выпало. Какое?
Ответ:
Решение:
Натуральное число $k\leqslant100$ таково, что $k^k$ является точным квадратом. Сколько различных значений может принимать $k$?
Ответ:
Решение:
На доске написаны все натуральные числа от 1 до 60 включительно. Назовём выписанное число особенным, если сумма всех остальных выписанных чисел делится на него.
1. Найдите наибольшее особенное число.
2. Сколько всего особенных чисел на доске?
1. Найдите наибольшее особенное число.
2. Сколько всего особенных чисел на доске?
Ответ:
Решение:
Простое число $p$ таково, что числа \[ 15p-15 \quad\text{и}\quad 16p-15 \] являются точными квадратами. Чему может быть равно $p$? Укажите все возможные варианты в любом порядке.
Ответ:
Решение:
Натуральное число заканчивается на ноль, а наибольший из его делителей, не равных ему самому, является степенью простого числа. Найдите предпоследнюю цифру этого числа.
Ответ:
Решение:
Напомним, что факториалом $n!$ натурального числа $n$ называется произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно (например, $1!=1$, а $5!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5$). Можно ли из чисел $1!, 2!, \ldots, 99!, 100!$ вычеркнуть одно так, чтобы произведение оставшихся оказалось кубом натурального числа?
Ответ:
Решение:
Сумму цифр шестизначного числа умножили на произведение его цифр. Получилось 390. Найдите хотя бы одно такое шестизначное число.
Ответ:
Решение:
Натуральные числа $n$ ($n\gt 1$) и $k$ таковы, что для любого натурального делителя $d$ числа $n$ хотя бы одно из чисел\[d+k\quad\text{и}\quad d-k\]также является натуральным делителем числа $n$. Докажите, что число $n$ — простое.
Ответ:
Решение:
Первоначально имеется один кусок сыра. Разрешается взять любой кусок сыра и проделать с ним одну из трех операций:
- разделить его на два куска одинакового веса,
- разделить его на 11 кусков одинакового веса,
- разделить его на 23 куска одинакового веса.
Ответ:
Решение:
На новогодний вечер пришли несколько супружеских пар, у каждой из которых было от 1 до 10 детей. Дед Мороз выбирал одного ребёнка, одну маму и одного папу из трёх разных семей и катал их в санях. Оказалось, что у него было ровно 3630 способов выбрать нужную тройку людей. Сколько всего могло быть детей на этом вечере?
Ответ:
Решение: