Найдите все тройки (не обязательно различных) натуральных чисел $a, b, c$ такие, что каждое из чисел \[ a+bc,\quad b+ca,\quad c+ab \] является простым делителем числа $(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)$.
Ответ:
Решение:
Натуральное число называется совершенным, если оно вдвое меньше суммы всех своих натуральных делителей: например, совершенным является число 6, так как $2\cdot6=1+2+3+6$. Может ли сумма всех попарных произведений натуральных делителей совершенного числа $n$ делиться на $n^2$?
Ответ:
Решение:
Дано нечётное натуральное число $a$, большее 100. На доску выписали все натуральные числа вида $(a-n^2)/4$, где $n$ — натуральное число. Оказалось, что при $n\leqslant\sqrt{a/5}$ все они простые. Докажите, что и каждое из остальных выписанных на доску натуральных чисел простое или равно единице.
Ответ:
Решение:
Докажите, что существует натуральное число $n$, большее $10^{100}$, такое, что сумма всех простых чисел, меньших $n$, взаимно проста с $n$.
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $k$, большее 1. Натуральное число $n$, большее 1 и взаимно простое с $k$, назовём правильным, если для любого натурального делителя $d$ ($d\lt n$) числа $n$ число $d+k$ не взаимно просто с $n$. Докажите, что правильных чисел — конечное количество.
Ответ:
Решение:
У Саши было 47 палочек. Использовав их все, он сложил несколько букв «Б» и «В», изображённых на рисунке. Какое наибольшее количество букв «Б» могло получиться у Саши?
Ответ:
Решение:
Сколько существует натуральных чисел $n$, для которых $4^n-15$ является квадратом целого числа?
Ответ:
Решение:
Записаны четыре различных натуральных числа. Оказалось, что сумма чисел, им обратных, равна 1. Может ли среди записанных чисел отсутствовать число 2?
Ответ:
Решение:
У Буратино есть много монет по 5 и по 6 сольдо, каждого вида более 10 монет. Придя в магазин и купив книгу за $N$ сольдо, он понял, что не сможет за неё рассчитаться без сдачи. Какое наибольшее значение может принимать натуральное $N$, если оно не больше 50?
Ответ:
Решение:
Сколько существует пар натуральных чисел $a$ и $b$ таких, что $a\geqslant b$ и выполнено \[ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{6}\,? \]
Ответ:
Решение:
Лёша разрезал куб $n\times n\times n$ на 153 меньших кубика. Причём у всех кубиков, кроме одного, длина ребра равна 1. Найдите $n$.
Ответ:
Решение:
В примере с дробями некоторые двузначные натуральные числа заменили буквами $A$ и $B$ \[\frac{A-5}{A}+\frac{4}{B}=1.\]
1. Какое наименьшее значение может принимать $A$?
2. Какое наибольшее значение может принимать $B$?
1. Какое наименьшее значение может принимать $A$?
2. Какое наибольшее значение может принимать $B$?
Ответ:
Решение:
Каждый член последовательности натуральных чисел, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих, а восьмой член равен 1313.
1. Сколько существует таких последовательностей?
2. Чему равен второй член последовательности, если первый равен 13?
1. Сколько существует таких последовательностей?
2. Чему равен второй член последовательности, если первый равен 13?
Ответ:
Решение:
Саша, Андрей и Оля выбрали по натуральному числу. Каждый из них умножил числа, выбранные двумя другими ребятами, на свое число и вычел меньшее произведение из большего. У Саши получилось 1, а у Андрея 121. Сколько могло получиться у Оли? Приведите все возможные варианты и докажите, что других нет.
Ответ:
Решение:
На клетчатой бумаге нарисовали большой квадрат. Его разрезали на несколько одинаковых средних квадратов. Один из средних квадратов разрезали на несколько одинаковых маленьких квадратов. Стороны всех квадратов проходят по линиям сетки. Найдите длины сторон большого, среднего и маленького квадратов, если сумма их площадей равна 154.
Ответ:
Решение:
Антон выписал на доску три натуральных числа $a$, $b$ и $c$. А Ира нарисовала на доске три прямоугольника $a\times b$, $a\times c$ и $b\times c$. Оказалось, что разность площадей какой-то пары прямоугольников равна 1, а разность площадей другой пары прямоугольников равна 49. Чему может быть равно $a+b+c$? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение:
Целые числа $n$ и $m$ удовлетворяют неравенствам $3n-m\lt 5$, $n+m\gt 26$, $3m-2n\lt 46$. Чему может равняться $2n+m$? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение:
Натуральное число $n$ таково, что значение выражения $n^2+492$ является точным квадратом.
1. Укажите любое возможное значение $n$.
2. Чему может быть равно $n$? Укажите все возможные варианты.
1. Укажите любое возможное значение $n$.
2. Чему может быть равно $n$? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение:
Натуральные числа $a$, $b$ таковы, что число $\dfrac{7a+9b}{a+3b}$ — тоже натуральное. Чему может быть равно отношение $\dfrac{a}{b}$? Укажите все подходящие варианты.
Ответ:
Решение:
Целые числа $a$, $b$, $c$ таковы, что $a^2+b^2c^2+c^2=2c(ab+1)$ и $a+b+c=800$. Чему может быть равно $b$? Укажите все возможные варианты ответа.
Ответ:
Решение: