Объём аккумулятора рации — натуральное число условных единиц. На каждое включение рации тратится натуральное число у. е., и каждые 10 минут работы рации отнимают некоторое натуральное число у. е. При выключении рации аккумулятор не расходуется. Известно, что если сеансы связи длятся по 10 минут, то аккумулятор сядет во время 40-го сеанса, а если по 20 минут — то во время 26-го. Найдите наименьший возможный заряд аккумулятора. «Аккумулятор сел во время сеанса» означает, что сеанс связи начался, шёл некоторое время, но аккумулятор сел до того момента, как сеанс успел закончиться.
Ответ:
Решение:
Дано нечётное простое число $p$. Найдите все пары натуральных чисел $a$ и $b$ таких, что $\dfrac{a}{p}+\dfrac{p}{b}=2$.
Ответ:
Решение:
Существуют ли такие натуральные числа $m$, $n$, $k$, что все три числа \[m^2+n+k,\quad n^2+k+m,\quad k^2+m+n\] являются квадратами натуральных чисел?
Ответ:
Решение:
Найдите все натуральные числа, которые можно представить в виде \[\frac{xy+yz+zx}{x+y+z},\] где $x$, $y$ и $z$ — три различных натуральных числа.
Ответ:
Решение:
Натуральные числа $a$, $x$ и $y$, большие 100, таковы, что $y^2-1=a^2(x^2-1)$. Какое наименьшее значение может принимать дробь $a/x$?
Ответ:
Решение:
Натуральные числа $n\gt 20$ и $k\gt 1$ таковы, что $n$ делится на $k^2$. Докажите, что найдутся натуральные $a$, $b$ и $c$ такие, что $n=ab+bc+ca$.
Ответ:
Решение:
Найдите все такие пары целых чисел $m$ и $n\gt 2$, что \[ \bigl((n-1)!-n\bigr)\cdot(n-2)!=m(m-2). \] Напомним, что $k!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot k$ — произведение всех натуральных чисел от 1 до $k$.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник с различными натуральными длинами сторон $a$, $b$ и $c$. Докажите, что хотя бы одно из чисел $ab+1$, $bc+1$ и $ca+1$ не является полным квадратом.
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее натуральное $k$ такое, что для некоторого натурального числа $a$, большего 500 000, и некоторого натурального числа $b$ выполнено равенство \[ \frac{1}{a}+\frac{1}{a+k}=\frac{1}{b}. \]
Ответ:
Решение:
На доску записали несколько (больше одного) последовательных натуральных чисел. Могло ли так случиться, что и сумма всех четных выписанных чисел — квадрат натурального числа, и сумма всех нечетных выписанных чисел — квадрат натурального числа?
Ответ:
Решение:
Назовём хорошей пару $(a,b)$ натуральных чисел, лежащих на отрезке $[100;240]$, если число $\sqrt{a+\sqrt{b}}$ является целым. Сколько существует хороших пар?
Ответ:
Решение:
Найдите количество пар различных натуральных чисел $a,b$ таких, что $1\leqslant a\lt b\leqslant100$ и \[\bigl\lfloor\sqrt{a}\bigr\rfloor+\bigl\lceil\sqrt{b}\bigr\rceil=\bigl\lceil\sqrt{a}\bigr\rceil+\bigl\lfloor\sqrt{b}\bigr\rfloor.\] Напомним, что $\lfloor x\rfloor$ обозначает наибольшее целое число, меньшее или равное $x$, а $\lceil x\rceil$ — наименьшее целое число, большее или равное $x$.
Ответ:
Решение:
Пусть $n$ — натуральное число. Какая цифра стоит сразу после запятой в десятичной записи числа $\sqrt{n^2+n}$?
Ответ:
Решение:
Различные натуральные числа $n$ и $k$ таковы, что \[k\lt n\lt 2k\lt 3n\lt 4k\lt 5n\lt \ldots\lt 48k\lt 49n\lt 50k.\] Какое наименьшее значение может принимать $n$?
Ответ:
Решение:
Квадратный трёхчлен $f(x)=ax^2+bx+c$, не имеющий корней, таков, что коэффициент $b$ рационален, а среди чисел $c$ и $f(c)$ ровно одно иррационально. Может ли дискриминант трёхчлена $f(x)$ быть рациональным?
Ответ:
Решение:
При каком наименьшем натуральном $a$ на числовом интервале $(a,3a)$ находится ровно 50 точных квадратов?
Ответ:
Решение:
Пусть $x_1\lt x_2\lt \ldots\lt x_{2024}$ — возрастающая последовательность натуральных чисел. При $i=1, 2, \ldots, 2024$ обозначим \[ p_i=\left(x_1-\dfrac{1}{x_1}\right)\left(x_2-\dfrac{1}{x_2}\right)\ldots\left(x_i-\dfrac{1}{x_i}\right). \] Какое наибольшее количество натуральных чисел может содержаться среди чисел $p_1$, $p_2$, …, $p_{2024}$?
Ответ:
Решение:
Назовём натуральное число $m$ привлекательным, если равенство \[\left\lfloor\dfrac{2024}{n}\right\rfloor=m\] не выполняется ни для какого натурального $n$. Напомним, что $\lfloor x\rfloor$ обозначает целую часть числа $x$.
1. Найдите наименьшее привлекательное число.
2. Найдите количество привлекательных чисел, не превосходящих 2024.
1. Найдите наименьшее привлекательное число.
2. Найдите количество привлекательных чисел, не превосходящих 2024.
Ответ:
Решение:
Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество $A$, состоящее из натуральных чисел, полным, если для любых натуральных $a$ и $b$ (не обязательно различных и не обязательно лежащих в $A$), при которых $a+b$ лежит в $A$, число $ab$ также лежит в $A$. Найдите все полные множества натуральных чисел.
Ответ:
Решение:
На доске написаны $n\gt 3$ различных натуральных чисел, меньших, чем \[(n-1)!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot(n-1).\] Для каждой пары этих чисел Серёжа поделил большее на меньшее с остатком и записал в тетрадку полученное неполное частное (так, если бы он делил 100 на 7, то он бы получил $100=14\cdot7+2$ и записал бы в тетрадку число 14). Докажите, что среди чисел в тетрадке найдутся два равных.
Ответ:
Решение: