В треугольнике $ABC$ с углом $A$, равным $60^\circ$, проведена биссектриса $AD$. Радиус описанной около треугольника $ADC$ окружности с центром в точке $O$ равен $2\sqrt3/3$. Найдите длину отрезка $BM$, где $M$ — точка пересечения отрезков $AD$ и $BO$, если $AB=1$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $L$ — точка пересечения отрезков $B_1C_1$ и $AA_1$, $K$ — точка пересечения отрезков $B_1A_1$ и $CC_1$. Найдите отношение $LM:MK$, если $M$ — точка пересечения биссектрисы $BB_1$ с отрезком $LK$, и $AB:BC:AC=2:3:4$.
Ответ:
Решение:
Биссектрисы $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ внешних углов треугольника $ABC$ пересекают продолжения противоположных сторон треугольника в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$ соответственно. Найдите угол $A_1C_1B_1$ и длину отрезка $A_1B_1$, если $AC=5$, $BC=2$, а угол $ACB$ равен $\arccos\dfrac{13}{20}$.
Ответ:
Решение:
Биссектрисы $AA_1$ и $BB_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$, причем $AO:OA_1=2:1$. Биссектриса внешнего угла при вершине $C$ треугольника $ABC$ пересекает прямую $AB$ в точке $C_1$. Найдите угол $B_1A_1C_1$ и длину отрезка $A_1C_1$, если $AB=2$, $AC=4$.
Ответ:
Решение:
Последовательность величин углов при вершинах $A$, $B$, $C$ в остроугольном треугольнике $ABC$ образует в данном порядке возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть $D$, $E$ — точки пересечения его высот и биссектрис, соответственно. Последовательность величин углов при вершинах $B$, $D$, $E$ в остроугольном треугольнике $BDE$ образует в данном порядке возрастающую арифметическую прогрессию. Найдите градусную величину угла $C$ в треугольнике $ABC$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ с тупым углом $A$ на стороне $AB$ как на диаметре построена окружность. Прямые $AC$ и $BC$ пересекают эту окружность в точках $D$ и $E$ соответственно ($D\not\equiv A$, $E\not\equiv B$). Через точки $D$ и $E$ к окружности проведены касательные, пересекающиеся в точке $F$. Прямая $CK$ перпендикулярна прямой $AB$, а точка $K$ — точка пересечения прямых $BD$ и $CK$. Найдите радиус описанной около треугольника $ACK$ окружности, если $FD=6$, а угол $CBD$ равен $\arcsin 0{,}6$.
Ответ:
Решение:
Медиана $AM$ и биссектриса $CD$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle B=90^\circ$) пересекаются в точке $O$. Найти площадь треугольника $ABC$, если $CO=9$, $OD=5$.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$) биссектрисы $AM$ и $BK$ пересекаются в точке $O$. Площади треугольников $BOM$ и $COM$ соответственно равны $25$ и $30$. Найти площадь треугольника $ABC$ и проекцию отрезка $OM$ на прямую $BC$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ на сторонах $AB$ и $AC$ расположены точки $D$ и $E$ соответственно так, что $CD$ — биссектриса треугольника $ABC$, $DE$ — биссектриса треугольника $ACD$, $EC=ED=\frac49$, $BC=1$. Найти $CD$ и площадь $S$ треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Медиана $AE$ и биссектриса $CD$ равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=BC$) пересекаются в точке $M$. Прямая, проходящая через $M$ параллельно $AC$, пересекает $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Найти $MQ$ и радиус окружности, описанной около треугольника $PQB$, если $AC=4$, $\angle ACB=\mathrm{arctg}\,(2\sqrt{2})$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ таком, что $AB=BC=4$ и $AC=2$, проведены биссектриса $AA_1$, медиана $BB_1$ и высота $CC_1$. Найти площадь треугольника, образованного пересечением прямых:
1) $AC$, $AA_1$ и $CC_1$;
2) $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$.
1) $AC$, $AA_1$ и $CC_1$;
2) $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AE$ и $CD$. Найти длины отрезков $CD$, $CE$, $DE$ и расстояние между центрами окружностей, вписанной в треугольник $ABC$ и описанной около треугольника $ABC$, если $AC=2$, $BC=4$, $\angle ACB=\arccos\dfrac{11}{16}$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ угол $ACB$ прямой, $AB=21$. Биссектриса угла $BAC$ и медиана $BP$ пересекаются в точке $O$. Окружность радиуса 3 с центром $O$ пересекает сторону $AB$ в точках $K$ и $L$ ($K$ лежит между $A$ и $L$), пересекает сторону $AC$ в точках $M$ и $N$ ($M$ лежит между $A$ и $N$) и касается стороны $BC$ в точке $T$. Найти $AC$, угол $KON$, $AM$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ медиана $BM=2$, угол $ABM$ равен $\operatorname{arctg}\dfrac23$, угол $CBM$ равен $\operatorname{arctg}\dfrac15$. Найти стороны $AB$, $BC$ и биссектрису $BE$ треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$; $MD$ и $ME$ — биссектрисы треугольников $AMB$ и $CMB$ соответственно. Отрезки $BM$ и $DE$ пересекаются в точке $P$, причём $BP=2$, $MP=4$.
а) Найдите отрезок $DE$.
б) Пусть дополнительно известно, что около четырёхугольника $ADEC$ можно описать окружность. Найдите её радиус.
а) Найдите отрезок $DE$.
б) Пусть дополнительно известно, что около четырёхугольника $ADEC$ можно описать окружность. Найдите её радиус.
Ответ:
Решение:
Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Пусть $P$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABD$, а $Q$ — центр окружности, вписанной в треугольник $CBD$. Луч $BP$ пересекает сторону $DA$ в точке $M$, а луч $DQ$ пересекает сторону $BC$ в точке $N$. Оказалось, что $AM=\frac{9}{7}$, $DM=\frac{12}{7}$ и $BN=\frac{20}{9}$, $CN=\frac{25}{9}$.
а) Найдите отношение $AB:CD$.
б) Пусть дополнительно известно, что данные в условии окружности касаются. Найдите длины сторон $AB$ и $CD$.
а) Найдите отношение $AB:CD$.
б) Пусть дополнительно известно, что данные в условии окружности касаются. Найдите длины сторон $AB$ и $CD$.
Ответ:
Решение:
Остроугольный треугольник $ABC$ площади $80$ вписан в окружность с центром $O$, а $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ — его высоты. Найдите площадь треугольника $BOA_1$, если площади треугольников $COB_1$ и $AOC_1$ равны $12$ и $20$ соответственно.
Ответ:
Решение:
На гипотенузе $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ выбраны точки $P$ и $Q$ так, что $AB=BP$, $AC=CQ$. Внутри треугольника $ABC$ выбрана точка $D$, для которой $DP=DQ$, а $\angle PDQ=90^\circ$. Найдите $\angle DBC$, если известно, что $\angle DCB=20^\circ$.
Ответ:
Решение:
На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ выбраны точки $M$ и $N$ соответственно так, что $\angle MNB=\angle ANC=80^\circ$. Найдите $\angle CAN$, если известно, что $BN\cdot MA=2BM\cdot NC$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном неравнобедренном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AP$ и $CQ$. Пусть $M$ и $T$ — соответственно середины сторон $AC$ и $AB$. Известно, что $\angle PBQ=\angle PMQ$. Найдите $QT$, если $AB=3$, $BC=5$.
Ответ:
Решение: