Дано квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$ с целыми ненулевыми коэффициентами $a$, $b$ и $c$, имеющее целый корень. Может ли оказаться, что если увеличить любой из этих трёх коэффициентов на $1$, то полученное уравнение останется квадратным и также будет иметь целый корень?
Ответ:
Решение:
Ненулевые целые числа $a$, $b$, $c$ являются тремя последовательными членами возрастающей арифметической прогрессии. Все шесть квадратных уравнений, коэффициентами которых являются числа $a$, $b$, $c$, взятые в произвольном порядке, имеют два корня. Найти наименьшее возможное при этих условиях значение разности прогрессии и соответствующие ей числа $a$, $b$, $c$.
Ответ:
Решение:
Пусть $f(x)=ax^2+bx+2$, $a\lt 0$ и $f(8)=0$. Какое наибольшее количество целочисленных решений может иметь неравенство $ax^4+bx^2+2\gt 0$?
Ответ:
Решение:
Квадратный трёхчлен $f(x)$ имеет один корень. Кроме того, уравнение \[ f(3x+4)+f(-2x+14)=0 \] имеет корень. Найдите корень квадратного трёхчлена $f(2x+2)$.
Ответ:
Решение:
Квадратный трёхчлен $f(x)=ax^2+bx+c$ принимает в точках $1/a$ и $c$ значения разных знаков. Докажите, что корни трёхчлена $f(x)$ имеют разные знаки.
Ответ:
Решение:
Два приведённых квадратных трёхчлена имеют общий корень, а дискриминант их суммы равен сумме их дискриминантов. Докажите, что тогда дискриминант хотя бы одного из этих двух трёхчленов равен нулю.
Ответ:
Решение:
Известно, что сумма любых двух из трёх квадратных трёхчленов $x^2+ax+b$, $x^2+cx+d$, $x^2+ex+f$ не имеет корней. Может ли сумма всех этих трёхчленов иметь корни?
Ответ:
Решение:
Что больше: $\mathrm{tg}\,\dfrac{11\pi}{6}$ или меньший корень квадратного трёхчлена $11x^2-17x-13$?
Ответ:
Решение:
Представить квадратный трехчлен $P(x)=x^2+4x-5$ в виде суммы двух квадратных трехчленов с нулевыми дискриминантами.
Ответ:
Решение:
Квадратный трехчлен $y=ax^2+bx+c$ имеет корень $x=1$. Если его коэффициенты увеличить на единицу, то он будет иметь корень $x=2$. Если еще раз увеличить коэффициенты на единицу, то среди его корней будет $x=3$. Найти квадратный трехчлен.
Ответ:
Решение:
Дан приведённый квадратный трёхчлен $f(x)$ такой, что
- уравнение $f(x)=2x^2$ имеет единственное решение,
- а также уравнение $f(x)=-8$ имеет единственное решение.
Ответ:
Решение:
Сколько существует квадратных трехчленов вида \[ x^2+ax+b \] с действительными корнями, у которых коэффициенты $a$, $b$ — натуральные числа такие, что $ab=2^{465}$?
Ответ:
Решение:
Про квадратичную функцию $f(x)=ax^2+bx+2$ известно, что \[ a\lt 0\quad\text{и}\quad f(7)=0. \] Какое наибольшее количество целых чисел может быть решением неравенства $ax^4+bx^2+2\gt 0$?
Ответ:
Решение:
Пусть $f(x)=ax^2+bx+2$, $a\lt 0$ и $f(10)=0$. Какое наибольшее количество целочисленных решений может иметь неравенство $ax^4+bx^2+2\gt 0$?
Ответ:
Решение:
Приведённый квадратный трёхчлен $f(x)$ таков, что каждое из уравнений $f(x)=2x-5$ и $f(x)=10-4x$ имеет ровно по одному решению. При каком наибольшем значении параметра $a$ уравнение $f(x)=a$ также будет иметь ровно одно решение?
Ответ:
Решение:
На прямоугольной полоске \[ 0\leqslant x\leqslant 1,\quad -1\leqslant y\leqslant 1 \] построили графики функций \[ y=\sin k\pi x\quad\text{для всех } k\in\{11,13,17\}. \] На сколько непересекающихся областей окажется разделена эта полоска?
Ответ:
Решение:
Докажите, что уравнение \[ \sin(2020x)+\cos(2020x)=\dfrac{x}{5050}+1 \] имеет по крайней мере $8000$ корней, принадлежащих отрезку $[-2\pi;2\pi]$.
Ответ:
Решение:
Найдите количество пар $(x;y)$ таких, что $x,y\in\mathbb{Z}$ и \[ \begin{cases} \sin\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi y}{2}\right),\\ \cos\left(\dfrac{2\pi x+\pi y}{12}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi y}{12}\right),\\ |2x+y-45|+|y|\leqslant 45. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Какое наибольшее количество множителей вида $\sin\dfrac{n\pi}{x}$ можно вычеркнуть в левой части уравнения \[\sin\frac{\pi}{x}\sin\frac{2\pi}{x}\sin\frac{3\pi}{x}\ldots\sin\frac{2015\pi}{x}=0\] так, чтобы число его натуральных корней не изменилось?
Ответ:
Решение:
Каково расстояние между ближайшими друг к другу корнями уравнения \[ \sin(\pi x)=\sin(3x^\circ)? \]
Ответ:
Решение: