В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на ребре $CC_1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=3:1$, на середине ребра $C_1D_1$ взята точка $K$. Найти косинус угла между прямыми $AK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на ребре $CC_1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=1:3$, на ребре $C_1D_1$ взята точка $K$ так, что $D_1K:KC_1=2:1$. Найти косинус угла между прямыми $AK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
Даны координаты точек: $A(1; 5; 0)$, $B(\alpha+1; 0; 1)$ и $C(\alpha+1; \alpha+5; -6)$. Найти все значения $\alpha$, при которых векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ ортогональны.
Ответ:
Решение:
На рёбрах $DA$, $DB$ и $DC$ тетраэдра $ABCD$ отмечены точки $K$, $M$ и $N$ соответственно, причём $AK:KD=1:2$ и $BM:MD=CN:ND=1:1$. Точки $E$ и $F$ лежат на прямых $CM$ и $BK$ соответственно, причём $EF\parallel AN$. Найдите отношение $EF:AN$.
Ответ:
Решение:
Медианы оснований треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ пересекаются в точках $O$ и $O_1$ соответственно. На отрезке $OO_1$ взята точка $P$ так, что $O_1P:PO=1:3$. Через точку $P$ проведена прямая параллельная диагонали $A_1C$ боковой грани призмы. Найдите длину отрезка этой прямой, расположенного внутри призмы, если длина диагонали $A_1C$ равна $2$.
Ответ:
Решение:
На ребрах $AB$ и $DC$ треугольной пирамиды $ABCD$ расположены точки $M$ и $N$ так, что \[ AM:AB=1:2\quad\text{и}\quad DN:DC=1:3. \] На прямых $DM$ и $AN$ взяты точки $P$ и $Q$ так, что прямые $PQ$ и $BC$ параллельны. Найти отношение длин отрезков $PQ:BC$.
Ответ:
Решение:
При каждом натуральном $n$ тело $\Phi_n$ в координатном пространстве задано неравенством \[ 3|x|^n+|8y|^n+|z|^n\lt 1, \] а тело $\Phi$ — объединение всех тел $\Phi_n$. Найдите объём тела $\Phi$.
Ответ:
Решение:
Вася смастерил из стеклянных стержней призму. Призма имеет $171$ боковое ребро и столько же рёбер в каждом из оснований. Вася задумался: «Можно ли параллельно перенести каждое из $513$ рёбер призмы так, чтобы они образовали замкнутую ломаную в пространстве?» Возможна ли реализация Васиной задумки?
Ответ:
Решение:
Современную жизнь невозможно представить без спутниковой связи и навигации. В 202 году только тремя ведущими космическими державами произведено 126 успешных запусков спутников. По данным прикладного потребительского центра ГЛОНАСС в настоящее время в составе системы ГЛОНАСС задействовано 25 спутников, в системах GPS — 32, ГАЛИЛЕО — 26, БЕЙДОУ — 49 спутников. Возникает проблема безопасности их полетов.
а) Считая Землю шаром радиуса $R$, определите, какое наибольшее количество спутников может одновременно находиться на орбитах вокруг Земли на одной и той же высоте $H$ от ее поверхности так, чтобы расстояние между аппаратами было не меньше $\sqrt{2}(R+H)$.
б) Для найденного максимального количества спутников указать координаты возможного их расположения в системе координат с началом в центре Земли и осью абсцисс, направленной вдоль вектора, соединяющего центр Земли с одним из спутников.
а) Считая Землю шаром радиуса $R$, определите, какое наибольшее количество спутников может одновременно находиться на орбитах вокруг Земли на одной и той же высоте $H$ от ее поверхности так, чтобы расстояние между аппаратами было не меньше $\sqrt{2}(R+H)$.
б) Для найденного максимального количества спутников указать координаты возможного их расположения в системе координат с началом в центре Земли и осью абсцисс, направленной вдоль вектора, соединяющего центр Земли с одним из спутников.
Ответ:
Решение:
Дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$ с основанием $ABC$, длины всех рёбер которой равны между собой. На рёбрах $A_1C_1$, $B_1B$ и $BC$ отмечены точки $P$, $Q$ и $R$ соответственно, причём $A_1P:A_1C_1=2:5$, $B_1Q:B_1B=1:4$ и $BR:BC=3:5$. Найдите тангенс угла между плоскостями $PQR$ и $ABC$.
Ответ:
Решение:
В правильном тетраэдре $ABCD$ проведено сечение так, что оно проходит через точки $K$, $L$, $M$, лежащие на рёбрах $DC$, $DB$, $DA$ соответственно. При этом $DK:KC=1:3$, $DL:LB=2:1$, $DM:MA=1:1$. Найдите угол между плоскостями грани $ABC$ и построенного сечения.
Ответ:
Решение:
На ребре $AD$ основания куба $ABCDA'B'C'D'$ ($AA'$, $BB'$, $CC'$, $DD'$ параллельные боковые ребра) расположена точка $M$ так, что $AM:AD=1:3$. Через точку $M$ и вершины $A'$ и $C'$ куба проведена плоскость $P$. Найти расстояние до плоскости $P$ точки $N$, расположенной на ребре $AB$ так, что $AN:AB=1:2$, если длина ребра куба равна $2\sqrt{19}$.
Ответ:
Решение:
Длины всех ребер (боковых и основания) тетраэдра $ABCD$ равны $1$. На ребре $AB$ расположена точка $M$ так, что $AM:AB=1:3$. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми $CM$ и $AD$.
Ответ:
Решение:
Ортогональной проекцией правильной треугольной пирамиды на некоторую плоскость является равнобокая трапеция с острым углом $60^\circ$. Известно, что объём пирамиды равен $72$. Найдите площадь трапеции.
Ответ:
Решение:
Рассматриваются ортогональные проекции данного правильного тетраэдра с единичным ребром на всевозможные плоскости. Какое наибольшее значение может принимать радиус круга, содержащегося в такой проекции?
Ответ:
Решение:
Ортогональной проекцией тетраэдра на плоскость одной из его граней является трапеция площади 1. Может ли ортогональной проекцией этого тетраэдра на плоскость другой его грани быть квадрат площади 1?
Ответ:
Решение:
В треугольной пирамиде $ABCD$ с основанием $ABC$ боковые рёбра попарно перпендикулярны, $DA=DB=2$, $DC=5$. Из точки основания испускают луч света. Отразившись ровно по одному разу от каждой боковой грани (от рёбер луч не отражается), луч попадает в точку на основании пирамиды. Какое наименьшее расстояние мог пройти луч?
Ответ:
Решение:
На рёбрах $BC$, $AB$ и $A_1B_1$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отмечены точки $K$, $L$ и $M$ соответственно так, что $BC:BK=AL:LB=B_1M:MA_1=2$. Прямая $\ell$ пересекает прямые $CD$, $C_1K$, $B_1D_1$ и $LM$ в четырёх различных точках $E$, $F$, $G$ и $H$ соответственно. Найдите длину отрезка $HE$, если известно, что $GE=3$.
Ответ:
Решение:
По диагоналям оснований $AC$ и $B_1D_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a$ ползут два муравья Гоша и Леша. Движение они начали одновременно из точек $A$ и $B_1$ соответственно с постоянной скоростью, причем скорость Леши была в два раза больше скорости передвижения Гоши, и закончили, когда Леша оказался в точке $D_1$. Какое наименьшее расстояние разделяло Гошу и Лешу во время движения?
Ответ:
Решение:
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро которого равно $6$, точки $M$ и $N$ — середины ребер $AB$ и $B_1C_1$ соответственно, а точка $K$ расположена на ребре $DC$ так, что $DK=2KC$. Найти:
1) расстояние от точки $N$ до прямой $AK$;
2) расстояние между прямыми $MN$ и $AK$;
3) расстояние от точки $A_1$ до плоскости треугольника $MNK$.
1) расстояние от точки $N$ до прямой $AK$;
2) расстояние между прямыми $MN$ и $AK$;
3) расстояние от точки $A_1$ до плоскости треугольника $MNK$.
Ответ:
Решение: