В окружность $\omega$ вписана трапеция $ABCD$ такая, что $BC\parallel AD$, $AD=14$ и $BC=9$. Пусть $M$ — середина дуги $AD$ окружности $\omega$, не содержащей точек $B$ и $C$. Прямая $\ell$ касается $\omega$ в точке $C$. Пусть $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из $M$ на $\ell$. Найдите длину отрезка $CH$.
Ответ:
Решение:
Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается стороны $AC$ в точке $D$. Вторая окружность проходит через точку $D$, касается луча $BA$ в точке $A$ и, кроме того, касается продолжения стороны $BC$ за точку $C$. Найдите отношение $AD:DC$.
Ответ:
Решение:
Пусть $AL$ — биссектриса треугольника $ABC$. Серединный перпендикуляр к отрезку $AL$ пересекает окружность, описанную около треугольника $ABC$, в точках $P$ и $Q$. Докажите, что окружность, описанная около треугольника $PLQ$, касается стороны $BC$.
Ответ:
Решение:
Внутри равнобокой трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ расположена окружность $\omega$ с центром $I$, касающаяся отрезков $AB$, $CD$ и $DA$. Описанная окружность треугольника $BIC$ вторично пересекает сторону $AB$ в точке $E$. Докажите, что прямая $CE$ касается окружности $\omega$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BL$. На отрезке $CL$ выбрана точка $M$. Касательная в точке $B$ к окружности $\Omega$, описанной около треугольника $ABC$, пересекает луч $CA$ в точке $P$. Касательные в точках $B$ и $M$ к окружности $\Gamma$, описанной около треугольника $BLM$, пересекаются в точке $Q$. Докажите, что прямые $PQ$ и $BL$ параллельны.
Ответ:
Решение:
Остроугольный равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB=AC$) вписан в окружность с центром в точке $O$. Лучи $BO$ и $CO$ пересекают стороны $AC$ и $AB$ в точках $B'$ и $C'$ соответственно. Через точку $C'$ проведена прямая $\ell$, параллельная прямой $AC$. Докажите, что прямая $\ell$ касается окружности, описанной около треугольника $B'OC$.
Ответ:
Решение:
На стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$ отмечены точки $E$ и $F$, причем $E$ лежит между $B$ и $F$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Прямые $AE$ и $DF$ касаются окружности, описанной около треугольника $AOD$. Докажите, что они касаются и окружности, описанной около треугольника $EOF$.
Ответ:
Решение:
Точка $M$ — середина основания $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$. На продолжении отрезков $AC$ и $BC$ за точку $C$ отмечены точки $D$ и $K$ соответственно так, что $BC=CD$ и $CM=CK$. Докажите, что окружности, описанные около треугольников $ABD$ и $MCK$, касаются.
Ответ:
Решение:
Дана трапеция $ABCD$. Известно, что $\angle DAB=\angle ABC=90^\circ$, а биссектрисы углов $C$ и $D$ пересекаются в точке $E$, лежащей внутри трапеции. Докажите, что описанные окружности треугольников $ABE$ и $CDE$ касаются.
Ответ:
Решение:
Две равные окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ проходят через точку $A$. На окружности $\omega_1$ отмечена точка $B$ так, что прямая $AB$ касается окружности $\omega_2$. На окружности $\omega_2$ отмечена точка $C$ так, что прямая $AC$ касается окружности $\omega_1$. Прямая, проходящая через точку $A$, повторно пересекает окружность $\omega_1$ в точке $X$ и окружность $\omega_2$ в точке $Y$. Докажите, что один из отрезков $BX$, $CY$ и $XY$ равен сумме двух других.
Ответ:
Решение:
Дан параллелограмм $ABCD$, в котором $AB\lt AC\lt BC$. Точки $E$ и $F$ выбраны на окружности $\omega$, описанной около треугольника $ABC$, так, что касательные к $\omega$ в этих точках проходят через $D$; при этом отрезки $AD$ и $CE$ пересекаются. Оказалось, что $\angle ABF=\angle DCE$. Найдите угол $ABC$.
Ответ:
Решение:
Параллелограмм $ABCD$ таков, что $\angle B\lt 90^\circ$ и $AB\lt BC$. Точки $E$ и $F$ выбраны на окружности $\omega$, описанной около треугольника $ABC$, так, что касательные к $\omega$ в этих точках проходят через $D$. Оказалось, что $\angle EDA=\angle FDC$. Найдите угол $ABC$.
Ответ:
Решение:
Остроугольный треугольник $ABC$ ($AB\lt AC$) вписан в окружность $\Omega$. Пусть $M$ — точка пересечения его медиан, а $AH$ — высота этого треугольника. Луч $MH$ пересекает $\Omega$ в точке $A'$. Докажите, что окружность, описанная около треугольника $A'HB$, касается $AB$.
Ответ:
Решение:
Пусть $ABC$ — остроугольный треугольник, в котором $AC\lt BC$; пусть $M$ — середина отрезка $AB$. В окружности $\Omega$, описанной около треугольника $ABC$, проведен диаметр $CC'$. Прямая $CM$ пересекает прямые $AC'$ и $BC'$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Пусть перпендикуляр к прямой $AC'$, проведенный через точку $K$, перпендикуляр к прямой $BC'$, проведенный через точку $L$, и прямая $AB$ образуют треугольник $\Delta$. Докажите, что окружность, описанная около треугольника $\Delta$, касается окружности $\Omega$.
Ответ:
Решение:
Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Обозначим через $I_A$, $I_B$, $I_C$ и $I_D$ центры окружностей $\omega_A$, $\omega_B$, $\omega_C$ и $\omega_D$, вписанных в треугольники $DAB$, $ABC$, $BCD$ и $CDA$ соответственно. Оказалось, что $\angle BI_AA+\angle I_CI_AI_D=180^\circ$. Докажите, что $\angle BI_BA+\angle I_CI_BI_D=180^\circ$.
Ответ:
Решение:
Равносторонний треугольник $ABC$ вписан в окружность $\Omega$ и описан вокруг окружности $\omega$. На сторонах $AC$ и $AB$ выбраны точки $P$ и $Q$ соответственно так, что отрезок $PQ$ касается $\omega$. Окружность $\Omega_b$ с центром $P$ проходит через вершину $B$, а окружность $\Omega_c$ с центром $Q$ — через $C$. Докажите, что окружности $\Omega$, $\Omega_b$ и $\Omega_c$ имеют общую точку.
Ответ:
Решение:
На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ выбраны точки $P$ и $Q$ соответственно так, что $PQ\parallel BC$. Отрезки $BQ$ и $CP$ пересекаются в точке $O$. Точка $A'$ симметрична точке $A$ относительно прямой $BC$. Отрезок $A'O$ пересекает окружность $\omega$, описанную около треугольника $APQ$, в точке $S$. Докажите, что окружность, описанная около треугольника $BSC$, касается окружности $\omega$.
Ответ:
Решение:
Окружность $\omega$ касается сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$. Окружность $\Omega$ касается стороны $AC$ и продолжения стороны $AB$ за точку $B$, а также касается $\omega$ в точке $L$, лежащей на стороне $BC$. Прямая $AL$ вторично пересекает $\omega$ и $\Omega$ в точках $K$ и $M$ соответственно. Оказалось, что $KB\parallel CM$. Докажите, что треугольник $LCM$ равнобедренный.
Ответ:
Решение:
В окружности $\omega$ с центром в точке $O$ провели непересекающиеся хорды $AB$ и $CD$ так, что $\angle AOB=\angle COD=120^\circ$. Касательная к $\omega$ в точке $A$ пересекает луч $CD$ в точке $X$, а касательная к $\omega$ в точке $B$ пересекает луч $DC$ в точке $Y$. Прямая $\ell$ проходит через центры окружностей, описанных около треугольников $DOX$ и $COY$. Докажите, что $\ell$ касается $\omega$.
Ответ:
Решение:
В неравнобедренном треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BL$. Продолжение медианы, проведённой из вершины $B$, пересекает окружность $\omega$, описанную около треугольника $ABC$, в точке $D$. Через центр окружности, описанной около треугольника $BDL$, проведена прямая $\ell$, параллельная прямой $AC$. Докажите, что окружность $\omega$ касается прямой $\ell$.
Ответ:
Решение: