Семь различных камней таковы, что любые шесть из них вместе весят меньше 6 кг. Докажите, что все семь камней вместе весят меньше 7 кг.
Ответ:
Решение:
На дискотеку пришли 42 человека: мальчики и девочки. Каждая девочка потанцевала со всеми мальчиками, кроме четырёх, а каждый мальчик потанцевал со всеми девочками, кроме трёх. Сколько мальчиков было на танцах?
Ответ:
Решение:
У Васи есть шесть одинаковых игральных кубиков, на гранях каждого из которых записаны числа от 1 до 6 (каждое — по одному разу). Вася бросал все шесть кубиков шесть раз подряд. Ни на одном из кубиков не выпадало дважды одно и то же число.
Известно, что при первом броске сумма чисел на верхних гранях равнялась 21, а при следующих четырёх бросках — 19, 20, 18 и 25. Какая сумма получилась при шестом броске?
Известно, что при первом броске сумма чисел на верхних гранях равнялась 21, а при следующих четырёх бросках — 19, 20, 18 и 25. Какая сумма получилась при шестом броске?
Ответ:
Решение:
Внутри большого треугольника периметра 120 провели несколько отрезков, которые разделили его на девять меньших треугольников, как показано на рисунке. Оказалось, что периметры всех девяти маленьких треугольников равны между собой. Чему они могут быть равны? Укажите все возможные варианты. Периметр фигуры — сумма длин всех её сторон.
[Рисунок (буквы введены для описания, на рисунке их нет): треугольник $TLR$ ($T$ — верхняя вершина, $L$ — левая нижняя, $R$ — правая). На стороне $TL$ отмечены точки $P_1$, $P_2$ (по порядку от $T$), на стороне $TR$ — точки $Q_1$, $Q_2$ (от $T$), на стороне $LR$ — точки $S_1$, $S_2$ (от $L$), внутри — точка $O$. Проведены отрезки $P_1Q_1$, $OP_1$, $OQ_1$, $OP_2$, $P_2S_1$, $OS_1$, $OS_2$, $OQ_2$, $S_2Q_2$; они делят треугольник на девять треугольников: $TP_1Q_1$, $P_1Q_1O$, $P_1OP_2$, $P_2OS_1$, $LP_2S_1$, $S_1OS_2$, $OS_2Q_2$, $S_2Q_2R$, $Q_1Q_2O$.]
[Рисунок (буквы введены для описания, на рисунке их нет): треугольник $TLR$ ($T$ — верхняя вершина, $L$ — левая нижняя, $R$ — правая). На стороне $TL$ отмечены точки $P_1$, $P_2$ (по порядку от $T$), на стороне $TR$ — точки $Q_1$, $Q_2$ (от $T$), на стороне $LR$ — точки $S_1$, $S_2$ (от $L$), внутри — точка $O$. Проведены отрезки $P_1Q_1$, $OP_1$, $OQ_1$, $OP_2$, $P_2S_1$, $OS_1$, $OS_2$, $OQ_2$, $S_2Q_2$; они делят треугольник на девять треугольников: $TP_1Q_1$, $P_1Q_1O$, $P_1OP_2$, $P_2OS_1$, $LP_2S_1$, $S_1OS_2$, $OS_2Q_2$, $S_2Q_2R$, $Q_1Q_2O$.]
Ответ:
Решение:
В королевстве живут графы, герцоги и маркизы. Однажды каждый граф сразился на дуэли с тремя герцогами и несколькими маркизами. Каждый герцог сразился на дуэли с двумя графами и шестью маркизами. Каждый маркиз сразился на дуэли с тремя герцогами и двумя графами. Известно, что все графы сразились с равным числом маркизов. Со сколькими маркизами сразился каждый граф?
Ответ:
Решение:
Четыре девочки поют песни, аккомпанируя друг другу. Каждый раз одна из них играет на фортепиано, а остальные три поют. Вечером они посчитали, что Аня спела 8 песен, Таня — 6 песен, Оля — 3 песни, а Катя — 7 песен. Сколько раз аккомпанировала Таня? Обоснуйте свой ответ.
Ответ:
Решение:
Аня, Боря, Вика и Гена дежурят в течение 20 дней в школе. Известно, что каждый день дежурят ровно трое из них. Аня дежурила 15 раз, Боря — 14 раз, Вика — 18 раз. Сколько раз дежурил Гена?
Ответ:
Решение:
Докажите, что для любого целого неотрицательного числа $k$, не превосходящего $\dfrac{2022\cdot2021}{2}$, существуют такие 2022 числа, что все их $\dfrac{2022\cdot2021}{2}$ попарные суммы различны и среди этих сумм ровно $k$ положительных.
Ответ:
Решение:
В квадратной таблице $2021\times2021$ стоят натуральные числа. Можно выбрать любой столбец или любую строку в таблице и выполнить одно из следующих действий:
1) прибавить к каждому выбранному числу 1;
2) разделить каждое из выбранных чисел на какое-нибудь натуральное число.
Можно ли за несколько таких действий добиться того, чтобы каждое число в таблице было равно 1?
1) прибавить к каждому выбранному числу 1;
2) разделить каждое из выбранных чисел на какое-нибудь натуральное число.
Можно ли за несколько таких действий добиться того, чтобы каждое число в таблице было равно 1?
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $n$. За одну операцию можно либо вычесть из имеющегося числа любое натуральное число, меньшее его наименьшего простого делителя, либо разделить его на его наименьший простой делитель. Существует ли такое составное $n$, что из него нельзя получить простое число менее, чем за 2021 операцию?
Ответ:
Решение:
В школе 30 кружков, в каждом занимаются 40 детей. Для каждого $i=1, 2, \ldots, 30$ обозначим через $n_i$ количество детей, занимающихся ровно в $i$ кружках. Докажите, что в этой же школе можно организовать 40 кружков с 30 детьми в каждом так, чтобы числа $n_i$ для этих новых кружков были бы теми же самыми.
Ответ:
Решение:
Назовём натуральное число $n$ странным, если существуют такие попарно различные натуральные числа $a$, $b$, $c$, $d$ и $e$, большие 1, что \[ n=a^{a^a}=b^{b^c}=d^{e^e}. \] Конечно или бесконечно количество странных чисел? (Напомним, что $x^{y^z}$ означает число, получившееся в результате возведения числа $x$ в степень $y^z$.)
Ответ:
Решение:
Существует ли натуральное число $n\gt 10^{100}$ такое, что десятичные записи чисел \[ n^2\quad\text{и}\quad(n+1)^2 \] отличаются перестановкой цифр? (Иначе говоря, в десятичных записях чисел $n^2$ и $(n+1)^2$ должно быть поровну цифр 0, поровну цифр 1, …, поровну цифр 9.)
Ответ:
Решение:
На доске написаны 8 различных квадратных трёхчленов; среди них нет двух, дающих в сумме нулевой многочлен. Оказалось, что если выбрать любые два трёхчлена $g_1(x)$, $g_2(x)$ с доски, то оставшиеся 6 трёхчленов можно обозначить как $g_3(x)$, $g_4(x)$, …, $g_8(x)$ так, что у всех четырёх многочленов $g_1(x)+g_2(x)$, $g_3(x)+g_4(x)$, $g_5(x)+g_6(x)$ и $g_7(x)+g_8(x)$ есть общий корень. Обязательно ли все трёхчлены на доске имеют общий корень?
Ответ:
Решение:
Юрий подошёл к великой таблице майя. В таблице 200 столбцов и $2^{200}$ строк. Юрий знает, что в каждой клетке таблицы изображено солнце или луна, и любые две строки отличаются (хотя бы в одном столбце). Каждая клетка таблицы закрыта листом. Поднялся ветер и сдул некоторые листы: по два листа с каждой строки. Могло ли так случиться, что теперь Юрий хотя бы про 10 000 строк может узнать, что в каждой из них изображено в каждом из столбцов?
Ответ:
Решение:
Дана прямолинейная дорога, выложенная из зелёных и красных дощечек (дорога — отрезок, разбитый на отрезки-дощечки). Цвета дощечек чередуются; первая и последняя дощечки — зелёные. Известно, что длины всех дощечек больше сантиметра и меньше метра, а также что длина каждой следующей дощечки больше предыдущей. Кузнечик хочет пропрыгать вперёд по дороге по этим дощечкам, наступив на каждую зелёную дощечку хотя бы один раз и не наступив ни на одну красную дощечку (или границу между соседними дощечками). Докажите, что кузнечик может сделать это так, чтобы среди длин его прыжков встретилось не более 8 различных значений.
Ответ:
Решение:
Даны натуральные числа $a$ и $b$ такие, что $a\geqslant 2b$. Существует ли многочлен $P(x)$ степени больше 0 с коэффициентами из множества $\{0,1,2,\ldots,b-1\}$ такой, что $P(a)$ делится на $P(b)$?
Ответ:
Решение:
В математическом кружке занимаются 24 школьника. Каждую команду, состоящую из 6 школьников, руководитель считает либо сыгранной, либо несыгранной. Для турнира математических боёв руководитель собирается разбить детей на 4 команды по 6 человек. Может ли оказаться, что при любом разбиении школьников на 4 команды сыгранными оказываются либо ровно три команды, либо ровно одна, причём и тот, и другой варианты присутствуют?
Ответ:
Решение:
В карточной игре каждой карте сопоставлено числовое значение от 1 до 100, причём каждая карта бьёт меньшую, за одним исключением: 1 бьёт 100. Игрок знает, что перед ним лежат рубашками вверх 100 карт с различными значениями. Крупье, знающий порядок этих карт, может про любую пару карт сообщить игроку, какая из них какую бьёт. Докажите, что крупье может сделать сто таких сообщений, чтобы после этого игрок смог точно узнать значение каждой карты.
Ответ:
Решение:
Верно ли, что для любых трёх различных натуральных чисел $a$, $b$ и $c$ найдётся квадратный трёхчлен с целыми коэффициентами и положительным старшим коэффициентом, принимающий в некоторых целых точках значения $a^3$, $b^3$ и $c^3$?
Ответ:
Решение: