Вася записал в тетрадь $40$ ненулевых чисел (среди которых могут быть равные), а затем дописал к ним ещё $40$ чисел, вычтя из квадрата каждого исходного числа сумму остальных исходных чисел. Какое наибольшее число отрицательных чисел среди всех $80$ выписанных чисел могло получиться у Васи?
Ответ:
Решение:
Маша пишет в ряд крестики и нолики — всего $1000$ символов. Оказалось, что количество символов между любыми двумя ноликами отлично от $12$. Какое наибольшее количество ноликов могла написать Маша?
Ответ:
Решение:
За круглый стол сели $50$ мудрецов. Каждый из них взял карточку и записал на ней целое ненулевое число. Оказалось, что у каждого мудреца число на карточке больше произведения чисел на карточках двух ближайших мудрецов, сидящих справа от него. Какое наибольшее количество положительных чисел может быть выписано на карточках мудрецов?
Ответ:
Решение:
За круглый стол сели 138 мудрецов. Часть из них в синих колпаках, остальные — в красных. Известно, что среди любых пяти мудрецов, сидящих подряд, найдутся по крайней мере двое в красных колпаках. Какое наименьшее количество мудрецов может быть в красных колпаках?
Ответ:
Решение:
За круглый стол сели $126$ мудрецов. Часть из них в синих колпаках, остальные — в красных. Известно, что среди любых пяти мудрецов, сидящих подряд, найдутся по крайней мере двое в красных колпаках. Какое наименьшее количество мудрецов может быть в красных колпаках?
Ответ:
Решение:
На факультете учится $100$ студентов. До зачёта каждые два студента встретились хотя бы на одной лекции по истории. При этом на каждой лекции по истории было не больше $50$ студентов. Какое наименьшее число лекций по истории могло пройти до зачёта?
Ответ:
Решение:
Длина круговой дорожки стадиона равна 400 метров. В разных местах дорожки стоят 13 спортсменов. При этом им разрешается бежать по дорожке только против часовой стрелки. Спортсмены хотят собраться в одном месте дорожки, пробежав суммарно не более $S$ метров. При каком наименьшем $S$ они гарантированно могут это сделать?
Ответ:
Решение:
Длина круговой дорожки стадиона равна $400$ метров. В разных местах дорожки стоят $5$ спортсменов. При этом им разрешается бежать по дорожке только против часовой стрелки. Спортсмены хотят собраться в одном месте дорожки, пробежав суммарно не более $S$ метров. При каком наименьшем $S$ они гарантированно могут это сделать?
Ответ:
Решение:
В некоторой стране $65$ городов. Известно, что в любых $30$ городах проживает не менее чем $21\%$ жителей страны. Какой наибольший процент жителей этой страны может проживать в столичном городе?
Ответ:
Решение:
На плоскости проведены $3$ семейства по $6$ прямых трёх разных направлений, причём прямые различных направлений пересекаются. Какое наибольшее количество ограниченных областей вырезают они из плоскости?
Ответ:
Решение:
В клубе собрались $12$ путешественников. Когда зашёл разговор о стране $N$, оказалось, что вместе любые $7$ путешественников побывали во всех городах страны $N$ (то есть каждый город посетил хоть один из этих $7$ путешественников), а любые $6$ — нет (то есть найдётся город, в котором не был ни один из этих $6$ путешественников). При каком минимальном количестве городов в стране $N$ это могло быть?
Ответ:
Решение:
Вася выписал на доску в строку $1300$ букв, причем количество букв, написанное между любыми двумя гласными буквами, не равно $10$. Какое наибольшее количество гласных букв могло быть выписано?
Ответ:
Решение:
Вася выписал на доску в строку $1200$ букв, причем количество букв, написанное между любыми двумя гласными буквами, не равно $12$. Какое наибольшее количество гласных букв могло быть выписано?
Ответ:
Решение:
На плоскости нарисован круг и три семейства прямых: в одном $19$ параллельных между собой прямых, в другом $23$ параллельных между собой прямых, в третьем $36$ параллельных между собой прямых. На какое наибольшее число частей прямые могут разбить круг?
Ответ:
Решение:
В турнире участвовали $377$ теннисистов. Все игры проходили на одном корте. Спортсмен, проигравший хотя бы одну игру, выбывает из турнира. Известно, что у участников каждой встречи количество предыдущих побед отличалось не более чем на одну. Какое наибольшее число игр мог сыграть победитель турнира?
Ответ:
Решение:
На клетчатой бумаге по линиям сетки выделили прямоугольник $10\times15$ клеток. В нём отметили все узлы, в том числе и лежащие на его границе. Какое наибольшее число отмеченных узлов можно выбрать так, чтобы никакие три из них не являлись вершинами прямоугольного треугольника?
Ответ:
Решение:
Тест по английскому языку сдавали $10$ школьников. Известно, что любые пять школьников ответили вместе на все вопросы, а любые четыре школьника ответили вместе не на все вопросы. При каком наименьшем количестве вопросов теста такое могло случиться?
Ответ:
Решение:
Каждая сторона равностороннего треугольника разбита на $21$ равных частей. Через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам. В результате треугольник разбит на $441$ треугольничков. Назовём цепочкой последовательность треугольничков, в которой ни один треугольничек не появляется дважды и каждый последующий имеет общую сторону с предыдущим. Каково наибольшее возможное количество треугольничков в такой цепочке?
Ответ:
Решение:
На шахматном турнире для 12 участников каждый сыграл ровно по одной партии с каждым из остальных. За выигрыш давали 1 очко, за ничью — $1/2$, за проигрыш — 0. Вася проиграл только одну партию, но занял последнее место, набрав меньше всех очков. Петя занял первое место, набрав больше всех очков. На сколько очков Вася отстал от Пети?
Ответ:
Решение:
Сумма нескольких не обязательно различных положительных чисел не превосходила $100$. Каждое из них заменили на новое следующим образом: сначала прологарифмировали по основанию $10$, затем округлили стандартным образом до ближайшего целого числа и, наконец, возвели $10$ в найденную целую степень. Могло ли оказаться так, что сумма новых чисел превышает $300$?
Ответ:
Решение: