Игорь хочет вырезать из клетчатого квадрата размером $11\times11$ 17 клетчатых прямоугольников размером $1\times6$. Можно ли отметить в квадрате одну клеточку так, чтобы она наверняка осталась не вырезанной, как бы Игорь ни старался?
Ответ:
Решение:
Кузнечик начинает движение в левой верхней клетке квадрата $10\times10$. Он может прыгать на одну клетку вниз или вправо. Кроме того, кузнечик может из самой нижней клетки любого столбца перелететь в самую верхнюю клетку того же столбца, а из самой правой клетки любой строки перелететь в самую левую клетку той же строки. Докажите, что кузнечику понадобится хотя бы 9 перелетов, чтобы побывать на каждой клетке квадрата хотя бы по одному разу.
Ответ:
Решение:
Назовем сапогом клетчатую фигуру, составленную из прямоугольника шириной одну и длиной не менее двух клеток и клетки, примыкающей сбоку к одной из крайних клеток этого прямоугольника (на рисунке изображен пример сапога, составленного из 5 клеток; фигуры, которые получаются из изображенного сапога поворотами и переворотами — тоже сапоги). Можно ли какой-нибудь клетчатый квадрат разрезать по границам клеточек на сапоги, среди которых нет равных? Напомним, что фигуры называются равными, если их можно наложить друг на друга так, что они совместятся.
Ответ:
Решение:
Клетчатый прямоугольник $100\times101$ (100 строк, 101 столбец) разбит на полоски $1\times5$ так, что в каждом столбце содержится ровно $k$ вертикальных полосок. Чему может быть равно $k$?
Ответ:
Решение:
При каких натуральных $n$, больших 5, клетчатый квадрат размером $n\times n$ клеток можно без остатка разрезать на прямоугольники из двух клеток и кресты из пяти клеток так, чтобы получились фигуры обоих этих видов? Крест из пяти клеток изображен на рисунке справа.
Ответ:
Решение:
Правильный треугольник со стороной 3 разбит на девять треугольных клеток, как показано на рисунке. В этих клетках изначально записаны нули. За один ход можно выбрать два числа, находящиеся в соседних по стороне клетках, и либо прибавить к обоим по единице, либо вычесть из обоих по единице. Петя хочет сделать несколько ходов так, чтобы после этого в клетках оказались записаны в некотором порядке последовательные натуральные числа $n$, $n+1$, $\ldots$, $n+8$. При каких $n$ он сможет это сделать?
Ответ:
Решение:
Каждое целое число на координатной прямой покрашено в один из двух цветов — белый или черный, причем числа 2016 и 2017 покрашены в разные цвета. Обязательно ли можно найти три одинаково покрашенных целых числа, сумма которых равна нулю?
Ответ:
Решение:
Вася записал в клетки таблицы $9\times9$ натуральные числа от 1 до 81 (в каждой клетке стоит по числу, все числа различны). Оказалось, что любые два числа, отличающихся на 3, стоят в соседних по стороне клетках. Верно ли, что обязательно найдутся две угловых клетки, разность чисел в которых делится на 6?
Ответ:
Решение:
В клетках доски $8\times8$ расставлены натуральные числа от 1 до 64 (каждое по разу) так, что числа, отличающиеся на 1, стоят в соседних по стороне клетках. Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел на диагонали из левого нижнего в правый верхний угол?
Ответ:
Решение:
Петя разбил клетчатый квадрат $100\times100$ некоторым образом на домино — клетчатые прямоугольники $1\times2$, и в каждом домино соединил центры двух его клеток синим отрезком. Вася хочет разбить этот же квадрат на домино вторым способом, и в каждом своём домино соединить две клетки красным отрезком. Вася хочет добиться того, чтобы из каждой клетки можно было пройти в любую другую, идя по синим и красным отрезкам. Обязательно ли у него будет возможность это сделать?
Ответ:
Решение:
Назовём полоской клетчатый прямоугольник, длина одной из сторон которого равна 1 (в частности, квадрат $1\times 1$ тоже является полоской).
Назовём натуральное число $k$ хорошим, если клетчатый прямоугольник $43\times k$ можно разрезать по линиям сетки на попарно различные полоски. Сколько существует хороших чисел, не превосходящих 100?
Назовём натуральное число $k$ хорошим, если клетчатый прямоугольник $43\times k$ можно разрезать по линиям сетки на попарно различные полоски. Сколько существует хороших чисел, не превосходящих 100?
Ответ:
Решение:
Можно ли прямоугольник $1000\times2016$ разрезать на прямоугольники $1\times2015$ и трёхклеточные «уголки» так, чтобы присутствовали фигурки обоих видов?
Ответ:
Решение:
В белой таблице размером $100\times100$ клеток окрашено в красный цвет $N$ ($N\gt 0$) клеток таким образом, что количество красных клеток в любой фигуре, образованной объединением столбца и строки таблицы, делится на 3. Чему может быть равно $N$?
Ответ:
Решение:
Квадрат разбит на $n^2\geqslant4$ прямоугольников $2(n-1)$ прямыми, из которых $n-1$ параллельны одной стороне квадрата, а остальные $n-1$ — другой. Докажите, что можно выбрать $2n$ прямоугольников разбиения таким образом, что для любых двух выбранных прямоугольников один из них можно поместить в другой (возможно, предварительно повернув).
Ответ:
Решение:
На клетчатой доске $n\times n$ отметили несколько клеток таким образом, что левый нижний ($L$) и правый верхний ($R$) углы доски не отмечены, и любой путь коня из $L$ в $R$ обязательно содержит отмеченную клетку. При каких $n\gt 3$ можно заведомо утверждать, что найдутся три клетки, идущие подряд по диагонали, среди которых отмечено хотя бы две?
Ответ:
Решение:
Каждое натуральное число, большее 1000, окрасили либо в красный, либо в синий цвет. Оказалось, что произведение любых двух различных красных чисел — синее. Может ли случиться, что никакие два синих числа не отличаются на 1?
Ответ:
Решение:
Можно ли на бесконечной клетчатой плоскости отметить конечное число узлов сетки так, чтобы было отмечено не менее двух точек, и для любой пары отмеченных точек нашлась бы отмеченная точка, равноудаленная от них?
Ответ:
Решение:
На шахматной доске размером $20\times20$ расставлены 220 коней, которые бьют все свободные клетки. Докажите, что можно убрать 20 коней таким образом, чтобы оставшиеся кони били все свободные клетки. Напомним, что конь бьёт буквой «Г» (см. рисунок).
Ответ:
Решение:
Из клетчатой доски размером $70\times70$ вырезали 2018 клеток. Докажите, что доска распалась не более чем на 2018 кусков. Два куска, не имеющие общих точек кроме вершин клеток, считаются не соединёнными друг с другом.
Ответ:
Решение:
При каких натуральных $n$ можно так отметить несколько клеток доски $n\times n$, чтобы во всех строках и столбцах было чётное число отмеченных клеток, а на всех $4n-6$ диагоналях, длина которых больше одной клетки, — нечётное?
Ответ:
Решение: