Найдите количество троек натуральных чисел $(a;b;c)$, удовлетворяющих системе уравнений \[ \begin{cases} \text{НОД}(a;b;c)=6,\\ \text{НОК}(a;b;c)=2^{15}\cdot 3^{16}. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
На доске написаны числа $2^2 3^{14} 5^3 7^{12}$ и $2^{11} 3^2 5^{12} 7^2$. За одну операцию разрешается написать на доску ещё одно натуральное число — разность каких-то двух написанных на доске. При этом запрещается записывать такие числа, которые уже есть на доске. Найдите сумму двух наименьших чисел, которые могут получиться на доске в результате применения таких операций.
Ответ:
Решение:
Прямоугольный параллелепипед $35\times 40\times 56$, разбитый на $78400$ единичных кубиков, проткнули иглой по его диагонали. Сколько единичных кубиков протыкает игла?
Ответ:
Решение:
Какие значения может принимать наибольший общий делитель натуральных чисел $m$ и $n$, если при увеличении числа $m$ на 6 он увеличивается в 4 раза?
Ответ:
Решение:
Сколько существует пар натуральных чисел $(a,b)$, у которых $\text{НОК}(a,b)=2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7^2=17640$, а $\text{НОД}(a,b)=12$? Среди всех таких пар указать ту, для которой $a+b$ принимает минимально возможное значение и найти это значение (пары $(a,b)$ и $(b,a)$ считать за одну).
Ответ:
Решение:
Сколько различных пар целых чисел $x$ и $y$, $1\leqslant x\leqslant 100$, $1\leqslant y\leqslant 100$ удовлетворяют уравнению $\text{НОД}\,(\log_2 x, 36)=\log_3^2 y$? Найти эти пары.
Ответ:
Решение:
Найти целые положительные $n$, при которых уравнение $x^2-a_nx-a_{n+1}=0$ имеет рациональные корни, где $a_n=\text{НОД}(6,n)$.
Ответ:
Решение:
Найти целые положительные числа $x$ и $y$, для которых $x+y=12$ и \[ x\cdot\text{НОД}(x,y)=\text{НОК}(x,y). \]
Ответ:
Решение:
Найдите количество упорядоченных пар натуральных чисел $(a,b)$ таких, что $\text{НОК}(a,b)=16!$ и $\text{НОД}(a,b)=30$.
Ответ:
Решение:
Пару взаимно простых натуральных чисел $a$ и $b$ назовём забавной, если $|a-b|\lt 5$. Найдите количество забавных пар чисел $(x,y)$ таких, что $60\leqslant x\lt y\leqslant 160$.
Ответ:
Решение:
Найдите все натуральные $a$ и $b$ такие, что \[ \begin{cases} 10\cdot\min(a;b)+\max(a;b)=2a+3b,\\ \bigl(\min(a;b)\bigr)^2+\text{НОД}(a;b)=6. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Найдите все натуральные $a$ и $b$ такие, что \[\begin{cases} \min(a;b)=7|a-b|,\\ 7\cdot\max(a;b)=8\bigl(\text{НОД}(a;b)\bigr)^2-64.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Известно, что дробь $\dfrac{a}{b}$ несократима ($a\in\mathbb N$, $b\in\mathbb N$). На доске записана дробь \[ \dfrac{a+b}{a^2-8ab+b^2}. \] При каком наибольшем $m$ могло оказаться, что числитель и знаменатель дроби можно сократить на $m$?
Ответ:
Решение:
Известно, что дробь $\dfrac ab$ несократима ($a\in\mathbb N$, $b\in\mathbb N$). На доске записана дробь \[\dfrac{a+b}{a^2-6ab+b^2}.\] При каком наибольшем $m$ могло оказаться, что числитель и знаменатель дроби можно сократить на $m$?
Ответ:
Решение:
Какое наибольшее значение может быть у наибольшего общего делителя чисел $11n+6$ и $23n+5$, если $n$ — натуральное число?
Ответ:
Решение:
Какое наибольшее значение может быть у наибольшего общего делителя чисел $13n+6$ и $17n+1$, если $n$ — натуральное число?
Ответ:
Решение:
Вершины $1000$-угольника последовательно занумеровали числами от $1$ до $1000$ и принялись закрашивать каждую $15$-ю вершину: сначала первую, потом $16$-ю, потом $31$-ю и так далее. Процесс продолжается до тех пор, пока можно закрашивать новые вершины. Сколько вершин останутся в итоге незакрашенными?
Ответ:
Решение:
Сколько пар натуральных чисел $(x,y)$ удовлетворяют равенству \[ \text{НОД}(x,y)+\text{НОК}(x,y)=2011\ ? \]
Ответ:
Решение:
Натуральные числа $m$ и $n$ таковы, что $\text{НОД}(m,n)=1$. Какое наибольшее значение может принимать $\text{НОД}(20m+n,30n+m)$?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение: