Найдите все значения $a$, при которых расстояние между любыми соседними корнями уравнения \[3\operatorname{tg}a\cdot\cos2x+3\sqrt2\cos3a\cdot\cos x+3\operatorname{tg}a-\operatorname{ctg}a=0\] меньше либо равно $\pi/2$.
Ответ:
Решение:
При каких $a$ уравнение \[ \arcsin(\cos x)=\cos\bigl(\arcsin(x-a)\bigr) \] имеет единственное решение?
Ответ:
Решение:
Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение \[\dfrac12(\cos x)^{\frac23}+(\sin x)^{\frac23}=a\] имеет единственное решение на отрезке $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$.
Ответ:
Решение:
Укажите наибольшее значение параметра $p$, при котором уравнение имеет хотя бы одно решение \[ 2\cos\left(2\pi-\frac{\pi x^2}{6}\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}\sqrt{9-x^2}\right)-3=p-2\sin\left(-\frac{\pi x^2}{6}\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}\sqrt{9-x^2}\right). \]
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых система \[ \begin{cases} \left(a|\operatorname{tg}^3y|+a|\operatorname{ctg}^3x|-8\right)\left(\operatorname{ctg}^6x+\operatorname{tg}^6y-3a^2\right)=0,\\ \sqrt{(\operatorname{ctg}^6x)(\operatorname{tg}^6y)}=a \end{cases} \] имеет не более двенадцати различных решений при $x\in(0,\pi)$ и $y\in(-\pi/2,\pi/2)$.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых система \[ \begin{cases} 7a-30\cos t+3\leqslant0,\\ 5\sin t+a+\dfrac12+\dfrac{|\cos t|}{2\cos t}+\dfrac{|5\cos t-4|}{5\cos t-4}=0 \end{cases} \] имеет решения. Укажите эти решения при найденных значениях параметра $a$.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $b$, при котором для любого значения параметра $a\in[-2;1]$ неравенство $a^2+b^2-\sin^22x-2(a+b)\cos2x-2\gt 0$ не выполняется хотя бы для одного значения $x$.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение \[ \left(\cos2x+14\cos x-14a\right)^7-\left(6a\cos x-4a^2-1\right)^7=(6a-14)\cos x+2\sin^2x-4a^2+14a-2 \] имеет два различных решения на отрезке $\left[-\frac{2\pi}{3};\pi\right]$. Укажите эти решения для каждого найденного $a$.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение \[ \sqrt[3]{6a\sin x+4a^2-6a}-\sqrt[3]{\cos2x+8\sin x+9}=\cos2x+(8-6a)\sin x-4a^2+6a+9 \] имеет два различных решения на отрезке $\left[-\frac{\pi}{6};\frac{3\pi}{2}\right]$. Укажите эти решения для каждого найденного $a$.
Ответ:
Решение:
Укажите все значения параметра $a$, $|a|\lt 1$, при которых множество решений неравенства\[\frac{|\cos t-a|-\sin t}{\left|\cos t-\frac{3}{4}\right|}\gt 0\]для $t\in(0;\pi)$ представимо в виде двух непересекающихся интервалов.
Ответ:
Решение:
Для каждого значения $a$ решите уравнение \[ 4-\sin^2 x+\cos 4x+\cos 2x+2\sin 3x\sin 7x-\cos^2 7x-\cos^2\pi a=0. \]
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a\in\mathbb R$ наибольшее расстояние между корнями уравнения \[ a\operatorname{tg}^3x+\left(2-a-a^2\right)\operatorname{tg}^2x+\left(a^2-2a-2\right)\operatorname{tg}x+2a=0, \] принадлежащими интервалу $\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$, принимает наименьшее значение? Найдите это наименьшее значение.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $a$, при каждом из которых ровно одно из следующих двух утверждений является истинным:\ 1) «Уравнение $\cos(\cos x)+\sin(\sin x)=a$ имеет ровно два корня на отрезке $[0;\pi]$»;\ 2) «Уравнение $\sin^4 x+\cos^4 x+\sin 2x=a$ имеет корни».
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $\alpha$, при каждом из которых нули функций \[ f(x)=\sin\left(\frac{3x}{2}+\alpha\right)\quad\text{и}\quad g(x)=2\sin2x+4\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)+\sqrt3 \] строго чередуются на числовой оси.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение \[ \cos 2x-2a\sin x-|2a-1|+2=0 \] имеет решения и все его положительные решения образуют арифметическую прогрессию.
Ответ:
Решение:
Решите уравнение с параметром. В ответе укажите наибольшее значение параметра, при котором существует решение уравнения: \[ 6-\frac{1}{\operatorname{tg}^2(\operatorname{arcctg}x)}+2\cos(\arcsin x)+p=0. \]
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $b$, при котором для любого значения параметра $a\in[-1;2]$ неравенство $\operatorname{tg}^2x+4(a+b)\operatorname{tg}x+a^2+b^2-18\lt 0$ выполняется при каждом $x\in[-\pi/4;\pi/4]$.
Ответ:
Решение:
Найти все значения параметра $b$, при которых неравенство $2b+b^2-2b\sin x\gt \cos^2x+2$ выполняется при любом значении $x$.
Ответ:
Решение:
Найти, при каких $a$ уравнение \[ \dfrac{1}{\sin^2x+\sin x}+\dfrac{1}{\sin^2x+3\sin x+2}+\dfrac{1}{\sin^2x+5\sin x+6}+\dfrac{1}{\sin^2x+7\sin x+12}=a \] не имеет решений.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $a$, для которых найдутся такие $x$, $y$ и $z$, что числа $\cos x$, $\cos y$ и $\cos z$ попарно различны и образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию, при этом числа $\cos(x+a)$, $\cos(y+a)$ и $\cos(z+a)$ также образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию.
Ответ:
Решение: