Прямые, содержащие стороны данного остроугольного треугольника $T$, покрасили в красный, зелёный и синий цвета. Затем эти прямые повернули вокруг центра описанной окружности данного треугольника по часовой стрелке на угол $120^\circ$ (прямая сохраняет свой цвет после поворота). Докажите, что три точки пересечения одноцветных прямых являются вершинами треугольника, равного $T$.
Ответ:
Решение:
На плоскости отмечены 5 точек. Докажите, что можно выбрать некоторые из них и переместить их так, чтобы расстояние между любыми двумя перемещёнными точками не изменилось, а в результате на плоскости осталось множество из 5 точек, симметричное относительно некоторой прямой.
Ответ:
Решение:
Внутри треугольника $ABC$ расположена точка $P$. На стороне $BC$ выбрана точка $H$, не совпадающая с серединой стороны. Оказалось, что биссектриса угла $AHP$ перпендикулярна стороне $BC$, угол $ABC$ равен углу $HCP$ и $BP=AC$. Докажите, что $BH=AH$.
Ответ:
Решение:
Дан четырёхугольник $ABCD$, причём \[AD=BC,\quad \angle DAC=97^\circ,\quad \angle CBD=83^\circ\quad\text{и}\quad \angle BCD=65^\circ.\] Найдите $\angle ACD$ (ответ дайте в градусах).
Ответ:
Решение:
Точки $M$ и $N$ — середины сторон $BC$ и $AD$ четырёхугольника $ABCD$. Известно, что $\angle B=150^\circ$, $\angle C=90^\circ$ и $AB=CD$. Найдите угол между прямыми $MN$ и $BC$.
Ответ:
Решение:
Прямая пересекает основание $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ в точке $D$, боковую сторону $AB$ в точке $E$ и луч $CB$ в точке $F$, причём $\angle ADE=\angle CDB$. Докажите, что площади треугольников $BCE$ и $AEF$ равны.
Ответ:
Решение:
Серединные перпендикуляры к сторонам $AB$ и $BC$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекают стороны $CD$ и $DA$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Оказалось, что $\angle APB=\angle BQC$. Внутри четырёхугольника выбрана точка $X$ такая, что $QX\parallel AB$ и $PX\parallel BC$. Докажите, что прямая $BX$ делит диагональ $AC$ пополам.
Ответ:
Решение:
На отрезке $XY$ как на диаметре построена полуокружность и выбрана произвольная точка $Z$ на этом отрезке. Девять лучей из точки $Z$ делят развернутый угол $XZY$ на 10 равных частей и пересекают полуокружность в точках $A_1$, $A_2$, …, $A_9$ соответственно (в порядке обхода от $X$ к $Y$). Докажите, что сумма площадей треугольников $A_2ZA_3$ и $A_7ZA_8$ равна площади четырехугольника $A_2A_3A_7A_8$.
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности $\omega$. Докажите, что диаметр окружности $\omega$ не превосходит длины отрезка, соединяющего середины сторон $BC$ и $AD$.
Ответ:
Решение:
Продолжения медиан $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ треугольника $ABC$ пересекают его описанную окружность в точках $A_0$, $B_0$ и $C_0$ соответственно. Оказалось, что площади треугольников $ABC_0$, $AB_0C$ и $A_0BC$ равны. Докажите, что треугольник $ABC$ равносторонний.
Ответ:
Решение:
Через центр прямоугольника провели две взаимно перпендикулярные прямые, не параллельные его сторонам. Оказалось, что они делят прямоугольник на четыре части равной площади. Может ли этот прямоугольник не быть квадратом?
Ответ:
Решение:
Шестиугольник, все углы которого меньше 180 градусов, таков, что каждый треугольник, образованный тремя идущими подряд его вершинами, имеет площадь 1. Докажите, что площадь этого шестиугольника не меньше 6.
Ответ:
Решение:
Дан бумажный треугольник, длины сторон которого равны 5 см, 12 см и 13 см. Можно ли разрезать его на несколько (больше одного) многоугольников, у каждого из которых площадь (измеренная в см$^2$) численно равна периметру (измеренному в см)?
Ответ:
Решение:
Дана трапеция $ABCD$. Отрезки $AB$ и $CD$ — её боковые стороны — равны 24 и 10 соответственно. На стороне $AB$ отмечены точки $X$ и $Y$ так, что $AX=6$, $XY=8$, $YB=10$. Известно, что расстояния от точек $X$ и $Y$ до прямой $CD$ равны 23 и 27 соответственно.
1. Найдите площадь треугольника $ACD$.
2. Найдите площадь трапеции $ABCD$.
1. Найдите площадь треугольника $ACD$.
2. Найдите площадь трапеции $ABCD$.
Ответ:
Решение:
На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $X$ и $Y$ соответственно. Отрезки $CX$ и $AY$ пересекаются в точке $T$. Докажите, что площадь треугольника $XBY$ больше площади треугольника $XTY$.
Ответ:
Решение:
Через точку $P$ проведены три отрезка, параллельные сторонам треугольника $ABC$ (см. рисунок). Докажите, что площади треугольников $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ равны.
Ответ:
Решение:
Внутри стороны $BC$ выпуклого четырехугольника $ABCD$ нашлась такая точка $E$, что прямая $AE$ делит четырёхугольник на две равные по площади части. Какая из вершин четырехугольника находится дальше всех от прямой $AE$?
Ответ:
Решение:
Из середины каждой стороны остроугольного треугольника площади $S$ проведены перпендикуляры к двум другим сторонам. Найдите площадь шестиугольника, ограниченного этими перпендикулярами.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Квадраты со сторонами 11, 9, 7 и 5 расположены примерно так, как на рисунке. Оказалось, что площадь серых частей в два раза больше, чем площадь черных частей. Найдите площадь белых частей.
Ответ:
Решение: