Пусть $AC$ — наибольшая сторона треугольника $ABC$. На отрезке $AC$ выбраны точки $K$ и $M$ так, что $AM=AB$ и $CK=CB$. Известно, что радиус окружности, описанной около треугольника $KBM$, равен 13, радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$, равен 11, и эта окружность касается стороны $BC$ в точке $T$. Найдите квадрат длины отрезка $BT$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB=3$, $AC=4$, $\angle BAC=60^\circ$. Продолжение биссектрисы $AA_1$ пересекает окружность, описанную около треугольника $ABC$, в точке $A_2$. Найдите площади треугольников $OA_2C$ и $A_1A_2C$ ($O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$).
Ответ:
Решение:
Пусть $AC$ — наибольшая сторона треугольника $ABC$. На отрезке $AC$ выбраны точки $K$ и $M$ так, что $AM=AB$ и $CK=CB$. Известно, что радиус окружности, описанной около треугольника $KBM$, равен 10, радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$, равен 9, и эта окружность касается стороны $BC$ в точке $T$. Найдите квадрат длины отрезка $BT$.
Ответ:
Решение:
Окружность $\omega$ радиуса $4$ с центром $O$ вписана в остроугольный треугольник $EFQ$ и касается его сторон $FQ$ и $EQ$ в точках $M$ и $P$ соответственно. Окружность $\Omega$ радиуса $\sqrt{65}/2$ с центром $T$ описана около треугольника $PQM$.
а) Найдите $OQ$.
б) Пусть дополнительно известно, что отношение площади треугольника $FTE$ к площади треугольника $EFQ$ равно $2/3$. Найдите длину биссектрисы $QA$ треугольника $EFQ$, а также его площадь.
а) Найдите $OQ$.
б) Пусть дополнительно известно, что отношение площади треугольника $FTE$ к площади треугольника $EFQ$ равно $2/3$. Найдите длину биссектрисы $QA$ треугольника $EFQ$, а также его площадь.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ проведена медиана $AM$ к боковой стороне. Найдите квадрат радиуса окружности, описанной около треугольника $ABC$, если радиусы окружностей, описанных около треугольников $ABM$ и $AMC$, равны соответственно $33$ и $11$.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике с основанием 34 и боковой стороной 49 проведена средняя линия, параллельная основанию. Найдите длину отрезка этой средней линии, заключённого внутри вписанной в треугольник окружности.
Ответ:
Решение:
В прямоугольный треугольник $ABC$ вписана окружность, касающаяся его сторон в точках $P$, $Q$ и $R$. Найдите площадь треугольника $PQR$, если длины катетов треугольника $ABC$ равны 3 и 4.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$, где $BA=5$, $BC=8$. В треугольник вписана окружность, касающаяся стороны $BC$ в точке $P$. Известно, что $BP=3$. Найдите площадь треугольника $BMP$, где $M$ — точка касания окружности со стороной $AC$.
Ответ:
Решение:
Высота, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит гипотенузу на два отрезка, один из которых равен 16. Найдите длину второго отрезка, если радиус вписанной в этот треугольник окружности равен 5.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ длины сторон $AB=84$, $AC=98$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Прямая $BD$, перпендикулярная прямой $AO$, пересекает сторону $AC$ в точке $D$. Найдите $CD$.
Ответ:
Решение:
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если высота, проведённая из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, у которых радиусы вписанных окружностей равны 3 и 4.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$. Точки $P$ и $Q$ — центры окружностей, вписанных в треугольники $ABH$ и $BCH$ соответственно, а $\sqrt{6}$ и $\sqrt{24}$ — радиусы этих окружностей. Найдите наименьшее возможное значение площади треугольника $HPQ$.
Ответ:
Решение:
Биссектрисы прямоугольного треугольника $ABC$ с гипотенузой $AC$ пересекаются в точке $P$. Окружность с диаметром $BP$ пересекает катеты $AB$ и $BC$ в точках $K$ и $M$ соответственно. Прямые $KP$ и $MP$ пересекают гипотенузу в точках $E$ и $T$ соответственно. Найдите площадь четырёхугольника $KBMP$, если $PT=3$, $EP=4$.
Ответ:
Решение:
Окружность с центром $I$ вписана в треугольник $ABC$ и касается его стороны $BC$ в точке $D$. Пусть $E$ — середина $BC$, а точка $F$ взята на стороне $AC$ так, что $BF\perp AI$. Найдите длину отрезка $CF$, если $AB=20$, $BC=16$, $DE=2$.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ проведена медиана $AM$ к боковой стороне. Найдите квадрат радиуса окружности, описанной около треугольника $ABC$, если радиусы окружностей, описанных около треугольников $ABM$ и $AMC$, равны $30$ и $15$.
Ответ:
Решение:
В параллелограмме $ABCD$ известно, что $AB=50$, $BC=21$ и $\cos\angle BAD=3/5$. Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников $BAD$ и $BCD$.
Ответ:
Решение:
Точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Известно, что $BC=16$, $CA=55$, $\angle AOB=120^\circ$. Найдите сторону $AB$.
Ответ:
Решение:
Вписанная в прямоугольный треугольник окружность делит точкой касания один из катетов на отрезки длины $6$ и $7$. Найдите длину гипотенузы.
Ответ:
Решение:
Точка $О$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. На продолжении отрезка $AO$ за точку $О$ отмечена точка $K$ так, что $BK = OK$.
а) Докажите, что четырехугольник $ABKC$ вписанный.
б) Найдите длину отрезка $AO$, если известно, что радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника $ABC$ равны $4$ и $10$ соответственно, а $OK = 12$.
а) Докажите, что четырехугольник $ABKC$ вписанный.
б) Найдите длину отрезка $AO$, если известно, что радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника $ABC$ равны $4$ и $10$ соответственно, а $OK = 12$.
Ответ:
Решение:
Точка $О$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. На продолжении отрезка $AO$ за точку $О$ отмечена точка $K$ так, что $BK = OK$.
а) Докажите, что четырехугольник $ABKC$ вписанный.
б) Найдите длину отрезка $AO$, если известно, что радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника $ABC$ равны $3$ и $9$ соответственно, а $OK = 10$.
а) Докажите, что четырехугольник $ABKC$ вписанный.
б) Найдите длину отрезка $AO$, если известно, что радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника $ABC$ равны $3$ и $9$ соответственно, а $OK = 10$.
Ответ:
Решение: