В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$) точка $M$ — середина стороны $AB$, а точка $K$ на стороне $AC$ такова, что $\angle ABK=\angle BKA$. Оказалось, что $KB=KM$. Докажите, что $2AC=3AB$.
Ответ:
Решение:
Внутри равностороннего треугольника $ABC$ отмечена произвольная точка $M$. Докажите, что можно выбрать на стороне $AB$ точку $C_1$, на стороне $BC$ — точку $A_1$, а на стороне $AC$ — точку $B_1$ таким образом, чтобы длины сторон треугольника $A_1B_1C_1$ были равны отрезкам $MA$, $MB$ и $MC$.
Ответ:
Решение:
Дан прямоугольный равнобедренный треугольник $ABC$ с прямым углом $A$. Квадрат $KLMN$ расположен, как на рисунке: точки $K$, $L$, $N$ лежат на сторонах $AB$, $BC$, $AC$ соответственно, а точка $M$ расположена внутри треугольника $ABC$. Найдите длину отрезка $AC$, если известно, что $AK=7$, $AN=3$.
Ответ:
Решение:
На диагонали $AC$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ отмечена точка $T$ так, что $AD=BT$. Оказалось, что $AB=BC=CT$, $\angle ABT=\angle CAD$, $\angle ABC=132^\circ$. Сколько градусов составляет угол $\angle BCD$?
Ответ:
Решение:
Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. На его стороне $AB$ отметили точку $X$ так, что угол $\angle ABC=4\angle ACX$. Точка $M$ — середина стороны $AC$. Найдите длину отрезка $BX$, если известно, что $BC=53$, $BM=40$.
Ответ:
Решение:
Биссектрисы углов $A$ и $C$ разрезают неравнобедренный треугольник $ABC$ на четырёхугольник и три треугольника, причём среди этих трёх треугольников есть два равнобедренных. Найдите углы треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ угол $C$ в 2 раза больше угла $B$, $CD$ — биссектриса. Из середины $M$ стороны $BC$ опущен перпендикуляр $MH$ на отрезок $CD$. На стороне $AB$ нашлась такая точка $K$, что $KMH$ — равносторонний треугольник. Докажите, что точки $M$, $H$ и $A$ лежат на одной прямой.
Ответ:
Решение:
В выпуклом пятиугольнике $ABCDE$ $AB$ параллельно $DE$, $CD=DE$, $CE$ перпендикулярно $BC$ и $AD$. Докажите, что прямая, проходящая через $A$ параллельно $CD$, прямая, проходящая через $B$ параллельно $CE$, и прямая, проходящая через $E$ параллельно $BC$, пересекаются в одной точке.
Ответ:
Решение:
$BM$ — медиана остроугольного треугольника $ABC$. Биссектриса угла $C$ пересекает прямую, проходящую через $A$ параллельно $BC$, в точке $X$. Оказалось, что $BM=MX$. Докажите, что $BC\gt AC$.
Ответ:
Решение:
На продолжении основания $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ за вершину $A$ выбрана точка $K$, а на боковой стороне $AB$ — точка $L$ так, что $KL=LC$. Оказалось, что $KA=LB$. Найдите угол $ABC$.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$. На внешней биссектрисе угла $ABC$ отмечена точка $D$, лежащая внутри угла $BAC$, такая, что $\angle BCD=60^\circ$. Известно, что $CD=2AB$. Точка $M$ — середина отрезка $BD$. Докажите, что треугольник $AMC$ — равнобедренный.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$) проведена биссектриса $CD$. На основании $AC$ отмечена точка $F$ так, что $BD=CF$. Точка $E$ выбрана таким образом, что четырехугольник $CDEF$ — параллелограмм. Докажите, что $BE=BF$.
Ответ:
Решение:
На боковых сторонах $AB$ и $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ выбраны точки $P$ и $Q$ соответственно так, что $PQ\parallel BC$. На биссектрисах треугольников $ABC$ и $APQ$, исходящих из вершин $B$ и $Q$, выбраны точки $X$ и $Y$ соответственно так, что $XY\parallel BC$. Докажите, что $PX=CY$.
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ биссектриса угла $B$ проходит через середину стороны $AD$, а $\angle C=\angle A+\angle D$. Найдите угол $ACD$.
Ответ:
Решение:
На биссектрисе $AL$ треугольника $ABC$ выбрана точка $D$. Известно, что $\angle BAC=2\alpha$, $\angle ADC=3\alpha$, $\angle ACB=4\alpha$. Докажите, что $BC+CD=AB$.
Ответ:
Решение:
Точка $N$ — середина стороны $BC$ треугольника $ABC$, в котором $\angle ACB=60^\circ$. Точка $M$ на стороне $AC$ такова, что $AM=BN$. Точка $K$ — середина отрезка $BM$. Докажите, что $AK=KC$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ ($\angle C=90^\circ$) на катете $BC$ отмечены точки $K$ и $L$ такие, что \[\angle CAK=\angle KAL=\angle LAB.\] На гипотенузе $AB$ отмечена точка $M$ такая, что $ML=KL$. Докажите, что перпендикуляр из точки $C$ на прямую $AK$ не делит отрезок $ML$ пополам.
Ответ:
Решение:
Точка $M$ — середина стороны $AC$ равностороннего треугольника $ABC$. Точки $P$ и $R$ на отрезках $AM$ и $BC$ соответственно выбраны так, что $AP=BR$. Найдите сумму углов $ARM$, $PBM$ и $BMR$.
Ответ:
Решение:
В выпуклом пятиугольнике $ABCDE$ диагонали $AD$ и $CE$ пересекаются в точке $X$. Оказалось, что $ABCX$ — параллелограмм и $BD=CX$; $BE=AX$. Докажите, что $AE=CD$.
Ответ:
Решение:
Дан равносторонний треугольник $ABC$. Точка $D$ выбрана на продолжении стороны $AB$ за точку $A$, точка $E$ — на продолжении $BC$ за точку $C$, а точка $F$ — на продолжении $AC$ за точку $C$ так, что $CF=AD$ и $AC+EF=DE$. Найдите угол $BDE$.
Ответ:
Решение: